Por que algumas energias são proibidas?

A reflexão de Bragg na rede periódica hibridiza as ondas que vão à direita e à esquerda perto das bordas de zona. Então a condição transcendente de Kronig–Penney não tem k real quando |cos(qa)+(P/qa)sin(qa)| > 1, e abrem-se intervalos. Os intervalos não são estados livres que «faltam», e sim consequência do espalhamento na rede.

O que significa dobrar na primeira zona de Brillouin?

Qualquer onda de Bloch pode ser rotulada com um vetor de onda reduzido em [−π/a, π/a] mais o índice de banda. Os segmentos da zona estendida de elétrons livres voltam com translações da rede recíproca G = 2πn/a. A parábola sobreposta ajuda a ver que pedaços do espectro de elétrons livres passam a ser que bandas.

Um P maior dá sempre intervalos maiores?

Barreiras δ mais fortes (maior |P|) em geral alargam os intervalos e achatam as bandas, mas o tamanho dos intervalos depende da energia pelo termo (P/qa)sin(qa). Em energias particulares o seno pode suprimir a perturbação; isso se vê no gráfico como função da energia.

Modelo de Kronig–Penney

Cadeia periódica de potenciais δ: cos(ka) = cos(qa) + (P/qa) sin(qa). Bandas permitidas e intervalos proibidos quando |·| ≤ 1; cada banda se dobra na primeira zona de Brillouin k ∈ ±π/a.

Sobre o modelo

O modelo de Kronig–Penney descreve um cristal unidimensional como um pente periódico de potenciais δ. Os números de onda de Bloch admissíveis satisfazem cos(ka) = cos(qa) + (P/qa) sin(qa), em que a é o período da rede, q está ligado à energia e P é a força das barreiras. As energias com módulo do lado direito não maior que 1 formam bandas; caso contrário, abrem-se intervalos proibidos. Cada banda se dobra na primeira zona de Brillouin k ∈ [−π/a, π/a]; para comparar, sobrepõe-se a parábola de elétrons livres. O modelo é de uma partícula, unidimensional, de potencial de alcance nulo: sem fônons, sem desordem e sem zona de Brillouin tridimensional. Ao crescer |P| os intervalos em geral se alargam e a parábola de elétrons livres se reorganiza em bandas de Bloch.

Para quem: Física do estado sólido e físico-química: elétrons quase livres, teorema de Bloch e bandas proibidas.

Conceitos-chave

modelo de Kronig–Penney
zona de Brillouin
bandas de energia
banda proibida
onda de Bloch
potencial periódico

Como funciona

Condição de Kronig–Penney: cos(ka) = cos(qa) + (P/qa) sin(qa). Se |lado direito| ≤ 1 há k real — banda permitida; senão, intervalo proibido. As bandas vão à primeira zona de Brillouin [−π/a, π/a]. Na tela: a dispersão E(k), os intervalos e a parábola de elétrons livres; os parâmetros são a força das barreiras P e o período a.

Perguntas frequentes

Por que algumas energias são proibidas?: A reflexão de Bragg na rede periódica hibridiza as ondas que vão à direita e à esquerda perto das bordas de zona. Então a condição transcendente de Kronig–Penney não tem k real quando |cos(qa)+(P/qa)sin(qa)| > 1, e abrem-se intervalos. Os intervalos não são estados livres que «faltam», e sim consequência do espalhamento na rede.
O que significa dobrar na primeira zona de Brillouin?: Qualquer onda de Bloch pode ser rotulada com um vetor de onda reduzido em [−π/a, π/a] mais o índice de banda. Os segmentos da zona estendida de elétrons livres voltam com translações da rede recíproca G = 2πn/a. A parábola sobreposta ajuda a ver que pedaços do espectro de elétrons livres passam a ser que bandas.
Um P maior dá sempre intervalos maiores?: Barreiras δ mais fortes (maior |P|) em geral alargam os intervalos e achatam as bandas, mas o tamanho dos intervalos depende da energia pelo termo (P/qa)sin(qa). Em energias particulares o seno pode suprimir a perturbação; isso se vê no gráfico como função da energia.

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