Por que este pêndulo se chama não linear?

O termo restaurador é proporcional a sinθ, não a θ. Em ângulos pequenos sinθ ≈ θ e o movimento se parece com o harmônico. Em ângulos grandes a aproximação quebra: pode haver vários períodos numa mesma frequência de excitação e caos determinístico.

O que mostra a trajetória de fase?

Cada ponto é o par (θ, θ̇), o estado completo naquele instante. Sem excitação e com amortecimento a trajetória entra em espiral no ponto mais baixo. Com excitação há laços fechados (período) ou curvas que não se repetem (caos).

Caos é ruído aleatório?

Não: a equação é a mesma. Mas uma diferença arbitrariamente pequena no ângulo ou na velocidade inicial dá, a longo prazo, uma trajetória bem diferente. Na prática não se prevê longe, embora a lei do movimento seja determinística.

Em que isto difere do pêndulo duplo?

Aqui há uma só coordenada θ; o caos vem da não linearidade e da força externa. No pêndulo duplo há duas coordenadas acopladas e pode haver caos sem excitação. A origem da complexidade não é a mesma.

Pêndulo não linear forçado

θ̈ + γθ̇ + (g/L) sinθ = A cos ωt; trajetória de fase; um grau de liberdade, não é o pêndulo duplo.

Gráficos

Sobre o modelo

Pêndulo não linear forçado: θ̈ + γθ̇ + (g/L) sinθ = A cos ωt. Em ângulos grandes não se pode trocar sinθ por θ — daí o entortamento da ressonância, vários períodos e, com excitação forte, a sensibilidade às condições iniciais. Na tela, o ângulo e a trajetória de fase (θ, θ̇). Um só grau de liberdade; o pêndulo duplo é outro problema: duas coordenadas acopladas, muitas vezes sem força externa.

Para quem: Dinâmica não linear na graduação: oscilações forçadas de um pêndulo, retrato de fase.

Conceitos-chave

pêndulo não linear
oscilações forçadas
espaço de fases
amortecimento
caos
atrator

Como funciona

Pêndulo plano com amortecimento linear e momento harmônico: θ̈ + γθ̇ + (g/L) sinθ = A cos ωt. Em ângulos pequenos sinθ ≈ θ — oscilações lineares forçadas. Ângulos grandes e excitação forte dão trajetórias não lineares e muitas vezes sensíveis. Na tela, θ(t) e o retrato de fase.

Fórmulas principais

θ¨ + γ θ˙ + (g/L) sin θ = A cos(ω t)

Perguntas frequentes

Por que este pêndulo se chama não linear?: O termo restaurador é proporcional a sinθ, não a θ. Em ângulos pequenos sinθ ≈ θ e o movimento se parece com o harmônico. Em ângulos grandes a aproximação quebra: pode haver vários períodos numa mesma frequência de excitação e caos determinístico.
O que mostra a trajetória de fase?: Cada ponto é o par (θ, θ̇), o estado completo naquele instante. Sem excitação e com amortecimento a trajetória entra em espiral no ponto mais baixo. Com excitação há laços fechados (período) ou curvas que não se repetem (caos).
Caos é ruído aleatório?: Não: a equação é a mesma. Mas uma diferença arbitrariamente pequena no ângulo ou na velocidade inicial dá, a longo prazo, uma trajetória bem diferente. Na prática não se prevê longe, embora a lei do movimento seja determinística.
Em que isto difere do pêndulo duplo?: Aqui há uma só coordenada θ; o caos vem da não linearidade e da força externa. No pêndulo duplo há duas coordenadas acopladas e pode haver caos sem excitação. A origem da complexidade não é a mesma.

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