Почему маятник называют нелинейным?

Возвращающий член пропорционален sinθ, а не θ. При малых углах sinθ ≈ θ, и движение близко к гармоническому. При больших углах приближение ломается: возможны несколько периодов при одной частоте вынуждения и детерминированный хаос.

Что показывает фазовая траектория?

Каждая точка — пара (θ, θ̇), полное состояние в данный момент. Без вынуждения при затухании траектория спиралью сходится к нижней точке. С вынуждением бывают замкнутые петли (период) или не повторяющиеся кривые (хаос).

Хаос — это случайный шум?

Нет: уравнение одно и то же. Но сколь угодно малая разница в начальном угле или скорости даёт совсем другую долгую траекторию. Практически предсказать далеко нельзя, хотя закон движения детерминирован.

Чем это отличается от двойного маятника?

Здесь одна координата θ, хаос — из нелинейности и внешней силы. У двойного маятника две связанные координаты, хаос может быть и без вынуждения. Источник сложности разный.

Вынужденный нелинейный маятник

θ̈ + γθ̇ + (g/L) sinθ = A cos ωt; фазовая траектория; одна степень свободы, не двойной маятник.

Пресеты

Маятник и затухание

Длина L1.05 m

g9.81 m/s²

Затухание γ0.22 1/s

Возбуждение A cos(ωt)

A1.15 rad/s²

ω2.05 rad/s

Начальные условия

θ₀8 °

θ˙₀0 rad/s

Маятник с одной степенью свободы и синусоидальным моментом (масштаб A cos ωt в уравнении для θ¨). Нелинейность sin θ; при большом A и малом γ долговременное движение может выглядеть нерегулярно — намёк на хаос, в отличие от двойного маятника с 4D фазовым пространством.

Горячие клавиши

Пробел / Enter — старт с НУ
R — стоп и сброс

Измеренные величины

ω₀ = √(g/L)3.0566rad/s

Период возбуждения3.065s

θ0.0000rad

θ˙0.0000rad/s

Графики

О модели

Вынужденный нелинейный маятник: θ̈ + γθ̇ + (g/L) sinθ = A cos ωt. При больших углах sinθ нельзя заменить на θ — отсюда изгиб резонанса, несколько периодов и, при сильном возбуждении, чувствительность к начальным условиям. На экране угол и фазовая траектория (θ, θ̇). Одна степень свободы; двойной маятник — другая задача: две связанные координаты, часто без внешней силы.

Для кого: Вузовская нелинейная динамика: вынужденные колебания маятника, фазовый портрет.

Ключевые понятия

нелинейный маятник
вынужденные колебания
фазовое пространство
затухание
хаос
аттрактор

Как это работает

Плоский маятник с линейным затуханием и гармоническим моментом: θ̈ + γθ̇ + (g/L) sinθ = A cos ωt. При малых углах sinθ ≈ θ — линейный вынужденный осциллятор. Большие углы и сильное вынуждение дают нелинейные и часто чувствительные траектории. На экране θ(t) и фазовый портрет.

Основные формулы

θ¨ + γ θ˙ + (g/L) sin θ = A cos(ω t)

Часто задаваемые вопросы

Почему маятник называют нелинейным?: Возвращающий член пропорционален sinθ, а не θ. При малых углах sinθ ≈ θ, и движение близко к гармоническому. При больших углах приближение ломается: возможны несколько периодов при одной частоте вынуждения и детерминированный хаос.
Что показывает фазовая траектория?: Каждая точка — пара (θ, θ̇), полное состояние в данный момент. Без вынуждения при затухании траектория спиралью сходится к нижней точке. С вынуждением бывают замкнутые петли (период) или не повторяющиеся кривые (хаос).
Хаос — это случайный шум?: Нет: уравнение одно и то же. Но сколь угодно малая разница в начальном угле или скорости даёт совсем другую долгую траекторию. Практически предсказать далеко нельзя, хотя закон движения детерминирован.
Чем это отличается от двойного маятника?: Здесь одна координата θ, хаос — из нелинейности и внешней силы. У двойного маятника две связанные координаты, хаос может быть и без вынуждения. Источник сложности разный.

Близкие темы рядом (в том числе из смежных разделов) — или все 37 в «Волны и звук».

Вся категория →

НовоеУниверситет / научные