Warum nennt man das Pendel nichtlinear?

Der rücktreibende Term ist proportional zu sinθ, nicht zu θ. Bei kleinen Winkeln gilt sinθ ≈ θ, die Bewegung ist nahezu harmonisch. Bei großen Winkeln bricht die Näherung: möglich sind mehrere Perioden bei derselben Erregerfrequenz und deterministisches Chaos.

Was zeigt die Phasenbahn?

Jeder Punkt ist das Paar (θ, θ̇), der volle Zustand in diesem Augenblick. Ohne Erregung läuft die Bahn bei Dämpfung spiralförmig in den unteren Ruhepunkt. Mit Erregung gibt es geschlossene Schleifen (Periode) oder sich nicht wiederholende Kurven (Chaos).

Ist Chaos zufälliges Rauschen?

Nein: die Gleichung bleibt dieselbe. Aber ein beliebig kleiner Unterschied im Anfangswinkel oder in der Winkelgeschwindigkeit gibt eine ganz andere lange Bahn. Praktisch lässt sich weit voraus nicht vorhersagen, obwohl das Bewegungsgesetz deterministisch ist.

Worin unterscheidet sich das vom Doppelpendel?

Hier eine Koordinate θ; das Chaos kommt aus Nichtlinearität und äußerer Kraft. Beim Doppelpendel zwei gekoppelte Koordinaten, Chaos kann auch ohne Erregung entstehen. Die Quelle der Schwierigkeit ist eine andere.

Erzwungenes nichtlineares Pendel

θ̈ + γθ̇ + (g/L) sinθ = A cos ωt; Phasenbahn; ein Freiheitsgrad, kein Doppelpendel.

Diagramme

Zum Modell

Das erzwungene nichtlineare Pendel: θ̈ + γθ̇ + (g/L) sinθ = A cos ωt. Bei großen Winkeln darf man sinθ nicht durch θ ersetzen — daher die Verbiegung der Resonanz, mehrere Perioden und bei starker Erregung die Empfindlichkeit gegenüber den Anfangsbedingungen. Auf dem Bildschirm stehen Winkel und Phasenbahn (θ, θ̇). Ein Freiheitsgrad; das Doppelpendel ist eine andere Aufgabe: zwei gekoppelte Koordinaten, oft ohne äußere Kraft.

Für wen: Nichtlineare Dynamik im Studium: erzwungene Pendelschwingungen, Phasenportrait.

Wichtige Begriffe

nichtlineares Pendel
erzwungene Schwingungen
Phasenraum
Dämpfung
Chaos
Attraktor

So funktioniert es

Ebenes Pendel mit linearer Dämpfung und harmonischem Moment: θ̈ + γθ̇ + (g/L) sinθ = A cos ωt. Bei kleinen Winkeln gilt sinθ ≈ θ — linearer erzwungener Oszillator. Große Winkel und starke Erregung geben nichtlineare und oft empfindliche Bahnen. Auf dem Bildschirm θ(t) und das Phasenportrait.

Wichtige Gleichungen

θ¨ + γ θ˙ + (g/L) sin θ = A cos(ω t)

Häufige Fragen

Warum nennt man das Pendel nichtlinear?: Der rücktreibende Term ist proportional zu sinθ, nicht zu θ. Bei kleinen Winkeln gilt sinθ ≈ θ, die Bewegung ist nahezu harmonisch. Bei großen Winkeln bricht die Näherung: möglich sind mehrere Perioden bei derselben Erregerfrequenz und deterministisches Chaos.
Was zeigt die Phasenbahn?: Jeder Punkt ist das Paar (θ, θ̇), der volle Zustand in diesem Augenblick. Ohne Erregung läuft die Bahn bei Dämpfung spiralförmig in den unteren Ruhepunkt. Mit Erregung gibt es geschlossene Schleifen (Periode) oder sich nicht wiederholende Kurven (Chaos).
Ist Chaos zufälliges Rauschen?: Nein: die Gleichung bleibt dieselbe. Aber ein beliebig kleiner Unterschied im Anfangswinkel oder in der Winkelgeschwindigkeit gibt eine ganz andere lange Bahn. Praktisch lässt sich weit voraus nicht vorhersagen, obwohl das Bewegungsgesetz deterministisch ist.
Worin unterscheidet sich das vom Doppelpendel?: Hier eine Koordinate θ; das Chaos kommt aus Nichtlinearität und äußerer Kraft. Beim Doppelpendel zwei gekoppelte Koordinaten, Chaos kann auch ohne Erregung entstehen. Die Quelle der Schwierigkeit ist eine andere.

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