PhysSandbox
Mécanique classiqueOndes et sonÉlectricité et magnétismeOptique et lumièreGravité et orbitesTravaux pratiques
🌙Astronomie et le ciel🌡️Thermodynamique🌍Biophysique, fluides et géosciences📐Visualisation mathématique🔧Ingénierie🧪Chimie
FRENRUESPT

Simulations voisines

Thèmes proches (y compris d’autres rubriques) — ou les 85 de «Mécanique classique».

Toute la catégorie →
NouveauPopulaireUniversité

Pendule double

Lancer la simulation

Deux pendules couplés : mouvement chaotique et trace de la masse inférieure.

NouveauUniversité

Pendule non linéaire forcé

Lancer la simulation

θ̈ + γθ̇ + (g/L) sinθ = A cos ωt ; trajectoire de phase ; un degré de liberté, pas un pendule double.

NouveauUniversité

Euler et RK4 (pendule simple)

Lancer la simulation

Une même équation non linéaire du pendule simple et un même pas h : méthode d’Euler explicite à côté de Runge–Kutta d’ordre 4.

NouveauUniversité

Pendule inversé sur un chariot

Lancer la simulation

Force horizontale sur le chariot et tige articulée : équations couplées pour x et θ, équilibre à la main.

NouveauUniversité

Échelle qui glisse

Lancer la simulation

Paroi et sol lisses : θ̈ = −(3g/2L) cos θ ; relâchée du repos, la réaction de la paroi s’annule lorsque sin θ = (2/3) sin θ₀.

NouveauUniversité

Pendule de Kapitza

Lancer la simulation

Le point d’attache oscille à la verticale : une excitation rapide peut stabiliser la position inversée. θ̈ + (g/L) sin θ ≈ (Aω²/L) cos(ωt) sin θ.

PhysSandbox

Simulations interactives de physique, chimie et ingénierie pour les élèves, les enseignants et les curieux.

Physique

  • Mécanique classique
  • Ondes et son
  • Électricité et magnétisme

Sciences

  • Optique et lumière
  • Gravité et orbites
  • Astronomie et le ciel

Plus

  • Thermodynamique
  • Biophysique, fluides et géosciences
  • Visualisation mathématique
  • Ingénierie
  • Chimie

© 2026 PhysSandbox. Simulations scientifiques interactives et gratuites.

ConfidentialitéConditionsContact
Accueil/Mécanique classique/Section de Poincaré du pendule double

Section de Poincaré du pendule double

Points (θ₁, ω₁) lorsque la seconde tige passe par la verticale basse avec ω₂ > 0. Intégrateur : Runge–Kutta d’ordre 4.

Pendule et application

1 m
1 m
118°
12°
14

Le même RK4 du pendule double ; les points apparaissent lorsque θ₂ passe par la verticale basse avec ω₂ > 0 — parfois après quelques secondes. Les curseurs d’angles relancent l’intégration.

Mesures

Plafond (approx.)16000 pts

À propos du modèle

La section de Poincaré d’un pendule double (deux tiges, articulations sans frottement, pesanteur) retient les points (θ₁, ω₁) aux instants où sin θ₂ = 0 et ω₂ > 0 — le second pendule passe par le bas dans un seul sens. L’état est (θ₁, θ₂, ω₁, ω₂). Le flot continu dans l’espace des phases à quatre dimensions devient une application discrète. Un mouvement quasi périodique donne des courbes et des chaînes d’îlots ; le chaos, un nuage de points à structure fine. Les équations viennent du lagrangien ; le pas est la méthode de Runge–Kutta d’ordre 4. Tiges de masse nulle, masses ponctuelles, pas d’amortissement : le système est conservatif.

Public : Mécanique théorique de licence : espace des phases, oscillations non linéaires, chaos déterministe.

Notions clés

  • section de Poincaré
  • pendule double
  • espace des phases
  • chaos déterministe
  • mouvement quasi périodique
  • lagrangien
  • méthode de Runge–Kutta

Comment ça marche

Les équations du pendule double sont intégrées par RK4. On pose un point dans le plan (θ₁, ω₁) lorsque le second angle passe la verticale basse de bas en haut (ω₂ > 0). Les trajectoires régulières se placent sur des courbes ; des conditions initiales typiques remplissent un nuage — section du chaos hamiltonien. Pas de frottement.

Questions fréquentes

Pourquoi ne pose-t-on des points que lorsque sin θ₂ = 0 et ω₂ > 0 ?
On fixe ainsi une même surface de section dans l’espace des phases à quatre dimensions. La condition ω₂ > 0 ne retient le passage de la verticale basse que dans un sens, sans doublons du retour. Le mouvement continu devient une application de premier retour.
Pourquoi tantôt des courbes, tantôt un nuage dispersé ?
Courbes et chaînes d’îlots : mouvement régulier quasi périodique. Le nuage (souvent à fine structure fractale) : chaos — trajectoire apériodique et exponentiellement sensible aux conditions initiales, qui remplit densément une région de la section.
Est-ce une propriété des équations ou un artefact numérique ?
La section de Poincaré est un procédé standard pour les systèmes dynamiques. RK4 donne une petite erreur de pas, mais le tableau qualitatif (courbes contre nuage chaotique) appartient aux équations mêmes du pendule double.
Quelles simplifications ce modèle fait-il ?
Tiges de masse nulle, masses ponctuelles, pas de frottement aux articulations ni de résistance de l’air. Le système est conservatif. Sur un pendule réel, l’amortissement ramène les trajectoires vers un attracteur — absent de cette section.