Pourquoi le mouvement est-il chaotique ?

Le système est non linéaire et a deux degrés de liberté fortement couplés. Aux grandes amplitudes, des trajectoires voisines dans l'espace des phases s'écartent vite : le pronostic à long terme à partir des angles initiaux se perd.

Pourquoi l'énergie totale E dérive-t-elle alors que l'amortissement est nul ?

La méthode de Runge–Kutta d'ordre 4 n'est pas symplectique. L'erreur de pas modifie peu à peu le hamiltonien numérique, donc ΔE peut croître alors que le modèle continu conserve l'énergie. Un pas plus court réduit la dérive.

En quoi les petits angles diffèrent-ils du chaos ?

Aux petits angles, les équations se linéarisent en oscillations harmoniques couplées et le mouvement est presque périodique (cas « Petits angles »). Aux grands angles, le couplage non linéaire reste entier et les trajectoires sont en général irrégulières (cas « Chaos classique »).

L'écart entre les deux extrémités est-il l'exposant de Lyapunov ?

Non. Le mode de comparaison intègre une seconde copie avec θ₁ décalé de 0,1° et affiche la distance entre les masses inférieures. C'est une image de la sensibilité. L'exposant λ exigerait la vitesse logarithmique normalisée de croissance de perturbations infinitésimales.

Pendule double

Deux pendules couplés : mouvement chaotique et trace de la masse inférieure.

Graphiques

À propos du modèle

Le pendule double — deux points matériels sur des tiges de masse nulle — est l'exemple classique de système chaotique. Les angles θ₁, θ₂ se comptent depuis la verticale vers le bas ; les équations non linéaires couplées de θ̈₁ et θ̈₂ (forme usuelle avec δ = θ₁ − θ₂) sont intégrées par la méthode de Runge–Kutta d'ordre 4. L'énergie mécanique E = T + V : la cinétique, par les vitesses des extrémités des tiges ; V = −m₁gL₁ cos θ₁ − m₂g(L₁ cos θ₁ + L₂ cos θ₂). Un amortissement angulaire optionnel multiplie ω après chaque pas. Une seconde trajectoire avec θ₁ décalé de 0,1° montre l'écart des extrémités : ce n'est pas l'exposant de Lyapunov λ.

Public : Terminale spécialité et début de licence : oscillations non linéaires, chaos, sensibilité aux conditions initiales.

Notions clés

pendule double
chaos
oscillations couplées
espace des phases
non-linéarité
sensibilité aux conditions initiales

Comment ça marche

Deux points matériels sur des tiges de masse nulle : le système chaotique classique. Des angles initiaux proches s'écartent vite. Les équations sont intégrées par Runge–Kutta d'ordre 4 ; un amortissement angulaire optionnel dissipe l'énergie (il ne stabilise pas le schéma numérique). La distance entre les masses inférieures au second passage n'est pas l'exposant de Lyapunov.

Formules

δ = θ₁ − θ₂, den = 2m₁ + m₂ − m₂ cos(2δ) : θ¨₁ = [−g(2m₁+m₂)sin θ₁ − m₂ g sin(θ₁−2θ₂) − 2 sin δ · m₂(ω₂² L₂ + ω₁² L₁ cos δ)] / (L₁ den) ; θ¨₂ = [2 sin δ · (ω₁² L₁(m₁+m₂) + g(m₁+m₂)cos θ₁ + ω₂² L₂ m₂ cos δ)] / (L₂ den). Angles depuis la verticale vers le bas.

E = T + V : T par les vitesses des extrémités des tiges ; V = −m₁gL₁ cos θ₁ − m₂g(L₁ cos θ₁ + L₂ cos θ₂) (+ const). Amortissement : ω ← ω e^(−γ Δt) après chaque pas RK4.

Questions fréquentes

Pourquoi le mouvement est-il chaotique ?: Le système est non linéaire et a deux degrés de liberté fortement couplés. Aux grandes amplitudes, des trajectoires voisines dans l'espace des phases s'écartent vite : le pronostic à long terme à partir des angles initiaux se perd.
Pourquoi l'énergie totale E dérive-t-elle alors que l'amortissement est nul ?: La méthode de Runge–Kutta d'ordre 4 n'est pas symplectique. L'erreur de pas modifie peu à peu le hamiltonien numérique, donc ΔE peut croître alors que le modèle continu conserve l'énergie. Un pas plus court réduit la dérive.
En quoi les petits angles diffèrent-ils du chaos ?: Aux petits angles, les équations se linéarisent en oscillations harmoniques couplées et le mouvement est presque périodique (cas « Petits angles »). Aux grands angles, le couplage non linéaire reste entier et les trajectoires sont en général irrégulières (cas « Chaos classique »).
L'écart entre les deux extrémités est-il l'exposant de Lyapunov ?: Non. Le mode de comparaison intègre une seconde copie avec θ₁ décalé de 0,1° et affiche la distance entre les masses inférieures. C'est une image de la sensibilité. L'exposant λ exigerait la vitesse logarithmique normalisée de croissance de perturbations infinitésimales.

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