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Inicio/Ondas y sonido/Péndulo no lineal forzado

Péndulo no lineal forzado

θ̈ + γθ̇ + (g/L) sinθ = A cos ωt; trayectoria de fase; un grado de libertad, no es el péndulo doble.

Plantillas

Péndulo y amortiguamiento

1.05 m
9.81 m/s²
0.22 1/s

Forzamiento A cos(ωt)

1.15 rad/s²
2.05 rad/s

Condiciones iniciales

8 °
0 rad/s

Péndulo de un grado de libertad con momento senoidal (A cos ωt a la escala de la ecuación para θ̈). No linealidad de sin θ; con A grande y γ pequeño el movimiento a tiempos largos puede verse irregular: un atisbo de caos, a diferencia del péndulo doble con espacio de fases 4D.

Atajos de teclado

  • •Espacio o Enter — iniciar desde las condiciones iniciales
  • •R — detener y reiniciar

Magnitudes medidas

ω₀ = √(g/L)3.0566rad/s
Periodo del forzamiento3.065s
θ0.0000rad
θ˙0.0000rad/s

Gráficas

Sobre el modelo

Péndulo no lineal forzado: θ̈ + γθ̇ + (g/L) sinθ = A cos ωt. A ángulos grandes no se puede sustituir sinθ por θ: de ahí el doblez de la resonancia, varios periodos y, con excitación fuerte, la sensibilidad a las condiciones iniciales. En pantalla, el ángulo y la trayectoria de fase (θ, θ̇). Un solo grado de libertad; el péndulo doble es otro problema: dos coordenadas acopladas, a menudo sin fuerza externa.

Para quién: Dinámica no lineal de facultad: oscilaciones forzadas de un péndulo, retrato de fase.

Conceptos clave

  • péndulo no lineal
  • oscilaciones forzadas
  • espacio de fases
  • amortiguamiento
  • caos
  • atractor

Cómo funciona

Péndulo plano con amortiguamiento lineal y momento armónico: θ̈ + γθ̇ + (g/L) sinθ = A cos ωt. A ángulos pequeños sinθ ≈ θ: oscilaciones lineales forzadas. Ángulos grandes y forzamiento fuerte dan trayectorias no lineales y a menudo sensibles. En pantalla, θ(t) y el retrato de fase.

Fórmulas principales

θ¨ + γ θ˙ + (g/L) sin θ = A cos(ω t)

Preguntas frecuentes

¿Por qué se llama no lineal a este péndulo?
El término recuperador es proporcional a sinθ, no a θ. A ángulos pequeños sinθ ≈ θ y el movimiento se parece al armónico. A ángulos grandes la aproximación se rompe: puede haber varios periodos a una misma frecuencia de forzamiento y caos determinista.
¿Qué muestra la trayectoria de fase?
Cada punto es el par (θ, θ̇), el estado completo en ese instante. Sin forzamiento y con amortiguamiento la trayectoria entra en espiral hacia el punto más bajo. Con forzamiento hay lazos cerrados (periodo) o curvas que no se repiten (caos).
¿El caos es ruido aleatorio?
No: la ecuación es la misma. Pero una diferencia arbitrariamente pequeña en el ángulo o la velocidad inicial da a la larga una trayectoria distinta. En la práctica no se puede predecir a tiempos largos, aunque la ley del movimiento es determinista.
¿En qué se diferencia del péndulo doble?
Aquí hay una sola coordenada θ; el caos sale de la no linealidad y de la fuerza externa. En el péndulo doble hay dos coordenadas acopladas y puede haber caos sin forzamiento. La fuente de la complejidad no es la misma.