Est-ce la même chose que la DLA ?

Non : dans l’agrégation limitée par diffusion, des particules en marche aléatoire collent au premier contact et donnent un amas fractal ramifié ; dans le modèle d’Eden, on tire uniformément un point du périmètre courant — les amas sont plus compacts et le comportement d’échelle est autre.

Pourquoi comparer P à 2√(πN) ?

Pour N grand, un amas lisse ressemble à un disque d’aire ∝ N ; son périmètre croît comme 2√(πN). Le rapport est une mesure adimensionnée rapide de la rugosité sur un réseau fini, pas une estimation de dimension fractale.

Des trous peuvent-ils apparaître à l’intérieur ?

Sur un réseau infini, en croissant « par l’extérieur », on n’enferme pas de trous. Dans une boîte finie à parois absorbantes, la géométrie tardive est déformée ; on limite le remplissage à environ 92 % du réseau.

Croissance d’Eden

Modèle d’Eden sur réseau carré : à chaque pas, on occupe un nœud vide tiré équiprobablement parmi les quatre voisins de l’amas ; croissance compacte et front rugueux.

À propos du modèle

La croissance d’Eden sur le réseau carré Z² construit un amas en attachant, à chaque pas, un nœud vide tiré équiprobablement parmi ceux qui touchent l’amas par quatre voisins (voisinage de von Neumann). On obtient des amas compacts à frontière fluctuante ; sur la page, la couleur code l’instant d’attachement, et le rapport P / (2√(πN)) compare le périmètre discret P au périmètre d’un disque de même aire dans l’estimation continue (≈ 1 pour un bord lisse, > 1 s’il y a des « rides »). La croissance s’arrête lorsque le front se vide ou que la boîte est presque pleine. La couleur d’une cellule est l’instant d’attachement à l’amas.

Public : Licence : croissance aléatoire et fronts discrets ; modèles pédagogiques de systèmes complexes.

Notions clés

modèle d’Eden
croissance aléatoire
voisinage de von Neumann
rugosité du front
périmètre
amas sur réseau

Comment ça marche

Réseau L×L : amas issu d’un germe unique ; à chaque pas — un nœud vide tiré équiprobablement dans le 4-voisinage de l’amas (modèle d’Eden). Couleur — instant d’attachement ; compteurs N, périmètre P, ρ = N/L², rugosité grossière P/(2√(πN)) par rapport à un disque lisse de même aire.

Formules

A_{t+1} = A_t ∪ {x} where x ∉ A_t is chosen uniformly among sites with a neighbor in A_t (4-neighborhood). Effective perimeter P vs disk 2√(πN) at site count N.

Questions fréquentes

Est-ce la même chose que la DLA ?: Non : dans l’agrégation limitée par diffusion, des particules en marche aléatoire collent au premier contact et donnent un amas fractal ramifié ; dans le modèle d’Eden, on tire uniformément un point du périmètre courant — les amas sont plus compacts et le comportement d’échelle est autre.
Pourquoi comparer P à 2√(πN) ?: Pour N grand, un amas lisse ressemble à un disque d’aire ∝ N ; son périmètre croît comme 2√(πN). Le rapport est une mesure adimensionnée rapide de la rugosité sur un réseau fini, pas une estimation de dimension fractale.
Des trous peuvent-ils apparaître à l’intérieur ?: Sur un réseau infini, en croissant « par l’extérieur », on n’enferme pas de trous. Dans une boîte finie à parois absorbantes, la géométrie tardive est déformée ; on limite le remplissage à environ 92 % du réseau.

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