Модель Эдена на Z² строит кластер, последовательно присоединяя равновероятно выбранный пустой узел, соприкасающийся с кластером по четырёхсоседству (von Neumann). Получаются компактные кластеры с флуктуирующей границей; на странице цвет кодирует время присоединения, а отношение P / (2√(πN)) сравнивает дискретный периметрP с периметром диска той же площади в континуумной оценке (≈1 у гладкой границы, >1 при «морщинах»). Рост останавливается при опустошении фронта или почти полном заполнении ящика.
Для кого: Студенты по случайному росту, дискретной геометрии границ и «игрушечным» моделям сложных систем.
Ключевые понятия
Модель Эдена
Случайный рост
Окрестность фон Неймана
Шероховатость интерфейса
Периметр
Кластер на решётке
Как это работает
Решётка L×L: кластер из одного зародыша; каждый шаг — равновероятно выбранный пустой узел из 4-соседства кластера (модель Эдена). Цвет — время присоединения; счётчики N, периметр P, ρ = N/L², грубая шероховатость P/(2√(πN)) к гладкому диску той же площади.
Основные формулы
A_{t+1} = A_t ∪ {x} where x ∉ A_t is chosen uniformly among sites with a neighbor in A_t (4-neighborhood). Effective perimeter P vs disk 2√(πN) at site count N.
Часто задаваемые вопросы
Это то же самое, что DLA?
Нет: в DLA блуждающие частицы прилипают при первом контакте и дают ветвистый фрактальный кластер; в Эдене на каждом шаге выбирается равномерно точка текущего периметра — кластеры компактнее и иначе по масштабированию.
Зачем сравнивать P с 2√(πN)?
При большом N гладкий кластер напоминает диск площади ∝ N; его периметр масштабируется как 2√(πN). Отношение — быстрая безразмерная мера шероховатости на конечной решётке, не оценка фрактальной размерности.
Могут ли появиться дыры внутри?
На бесконечной решётке при росте «снаружи» дыры не заключаются. В конечном ящике с поглощающими стенками поздняя геометрия искажается; симулятор ограничивает заполнение до ~92% решётки.