Pourquoi mon D̂ n’est-il pas égal à 1,71 ?

1,71 est une extrapolation pour de grands amas sur un réseau infini ; une boîte finie, une réalisation et peu de tailles de boîtes donnent de la dispersion. La moyenne sur des réalisations réduit le bruit, mais ici D̂ est pédagogique.

Est-ce la même chose que la DLA dans l’espace continu ?

Le même principe d’adhésion au premier contact, mais les pas sont sur le réseau carré. Les variantes continues sont de la même classe d’universalité, mais l’anisotropie et les corrections de taille finie diffèrent.

Pourquoi arrêter la croissance vers 42 % de remplissage ?

Près des parois, les marches sont fortement déformées ; la croissance ralentit et ressemble moins au régime « libre ». La limite garde la réactivité et la lisibilité.

Agrégation limitée par diffusion (DLA)

Des marches aléatoires adhèrent au premier contact avec un germe sur réseau carré ; croissance fractale ramifiée, dimension de masse D ≈ 1,71 en 2D.

À propos du modèle

L’agrégation limitée par diffusion (modèle de Witten–Sander) fixe un germe sur le réseau, puis lâche des marches aléatoires sans biais depuis le bord (ou depuis un anneau autour de l’amas). La particule adhère au premier contact avec l’agrégat. Les pointes des branches interceptent un plus grand flux diffusif, d’où une croissance ramifiée, non compacte. En 2D, la dimension de masse dans la littérature vaut D ≈ 1,71. La croissance sur un réseau 121×121 s’arrête avant le remplissage presque complet ; D̂ s’estime par recouvrement par des carrés et reste bruité aux petites tailles.

Public : Physique statistique et matière molle : marche aléatoire, croissance fractale.

Notions clés

agrégation limitée par diffusion
modèle de Witten–Sander
marche aléatoire
dimension fractale
mesure harmonique
recouvrement par des carrés

Comment ça marche

Un germe au centre ; des marches indépendantes depuis le bord (ou depuis un anneau autour de l’amas) jusqu’au premier voisinage de l’agrégat — le site adhère. Croissance ramifiée ; on compare D̂ par recouvrement par des carrés à la valeur D ≈ 1,71 de la littérature en 2D. La croissance s’arrête avant le remplissage presque complet.

Formules

Growth probability at tip scales with harmonic measure of diffusion; mean-field Flory-type exponent in 2D is D ≈ 5/3, while simulations give D ≈ 1.71. Box-counting on a finite cluster gives a noisy D̂.

Questions fréquentes

Pourquoi mon D̂ n’est-il pas égal à 1,71 ?: 1,71 est une extrapolation pour de grands amas sur un réseau infini ; une boîte finie, une réalisation et peu de tailles de boîtes donnent de la dispersion. La moyenne sur des réalisations réduit le bruit, mais ici D̂ est pédagogique.
Est-ce la même chose que la DLA dans l’espace continu ?: Le même principe d’adhésion au premier contact, mais les pas sont sur le réseau carré. Les variantes continues sont de la même classe d’universalité, mais l’anisotropie et les corrections de taille finie diffèrent.
Pourquoi arrêter la croissance vers 42 % de remplissage ?: Près des parois, les marches sont fortement déformées ; la croissance ralentit et ressemble moins au régime « libre ». La limite garde la réactivité et la lisibilité.

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