- Pourquoi ne puis-je pas rendre à la fois α et β petits rien qu’en déplaçant le seuil ?
- Le seuil c décide seulement où les deux courbes sont coupées. Le déplacer vers la droite réduit la queue rose de H₀ (α) mais agrandit la partie orange de la courbe H₁ sous c (β), et le déplacer vers la gauche fait l’inverse. Si les courbes sont fixes, α et β sont liés par c, et l’un grandit toujours quand l’autre diminue. Le seul moyen de réduire les deux est d’écarter les courbes par rapport à leur largeur — un effet d plus grand, un σ plus petit ou, le plus pratique, un n plus grand, qui rétrécit les deux courbes d’un facteur √n.
- Pourquoi la formule de la taille d’échantillon contient-elle le carré de (z₁₋α + z₁₋β) ?
- Pour une puissance de 80 %, le seuil doit se trouver à z₁₋α erreurs types au-dessus de μ₀ et, en même temps, à z₀,₈ erreurs types au-dessous de μ₁. Ces deux distances s’additionnent pour donner l’écart d entre les moyennes, donc d = (z₁₋α + z₁₋β)·σ/√n. Résoudre en n met les deux membres au carré : n = ((z₁₋α + z₁₋β)·σ/d)². Pour un α unilatéral de 0,05 et d = 0,5σ, on obtient (1,645 + 0,842)²·4 ≈ 24,7, arrondi par excès à 25 ; la courbe de puissance franchit 0,8 exactement à ce n.
- Si α = 0,05, pourquoi mes 1 000 expériences sous H₀ ont-elles donné 6,1 % de faux positifs ?
- α est la probabilité à long terme d’un faux positif, et non une fréquence garantie dans un lot fini. Le nombre de faux positifs sur 1 000 essais est binomial, de moyenne 50 et d’écart-type √(1 000·0,05·0,95) ≈ 6,9, donc tout ce qui va d’environ 36 à 64 (3,6 % à 6,4 %) est à moins de deux écarts-types, et tout à fait compatible avec α = 0,05. Relancez le lot plusieurs fois : les comptes se dispersent autour de 50 ; le même raisonnement vaut pour le compte de faux négatifs, autour de 1 000·β.
- Qu’est-ce qui change quand je passe à un test bilatéral ?
- Un test bilatéral rejette H₀ dès que x̄ est loin de μ₀ dans un sens ou dans l’autre, donc le budget de α est partagé : chaque queue reçoit α/2 et le seuil s’éloigne jusqu’à z₁₋α/2 (1,96 au lieu de 1,645 pour α = 0,05). Pour un effet positif d, presque toute la puissance vient de la queue droite, donc la distance supplémentaire coûte de la puissance — à d = 0,5σ et n = 20, la puissance passe d’environ 0,72 à environ 0,61 — et il faut davantage d’échantillons pour la même cible de 80 %. La petite queue gauche est quand même comptée dans la puissance, parce qu’une moyenne d’échantillon très en dessous de μ₀ rejette aussi H₀, même si elle pointe dans le mauvais sens.