Pourquoi le yoyo tombe-t-il plus lentement qu'en chute libre ?

Le poids accélère le centre d'inertie et, en même temps, met le disque en rotation. Une part de l'énergie potentielle va à l'énergie cinétique de rotation, donc a < g. Plus I est grand, plus la descente est lente.

Comment le rayon de l'axe influe-t-il sur l'accélération ?

D'après a = g / (1 + I/(mr²)), un r plus petit augmente I/(mr²) et diminue a. Le moment de la tension Tr est aussi plus petit, et il est plus difficile de mettre le disque en rotation.

Qu'apporte le moment de frottement sur l'axe ?

Un moment constant τ opposé à la rotation modélise le frottement dans l'axe. Les équations donnent a = (mg − τ/r) / (m + I/r²) : τ diminue l'accélération de descente ; si τ ≥ mgr, il n'y a plus d'accélération.

La masse compte-t-elle, ou seulement la forme ?

Les deux. La masse entre dans ma. La forme, par le moment d'inertie I : à m égale, un anneau (I = mR²) descend plus lentement qu'un disque (I = ½mR²).

Dynamique d'un yoyo

Q: Comment le rayon de l'axe influe-t-il sur l'accélération ?

D'après a = g / (1 + I/(mr²)), un r plus petit augmente I/(mr²) et diminue a. Le moment de la tension Tr est aussi plus petit, et il est plus difficile de mettre le disque en rotation.

Q: Qu'apporte le moment de frottement sur l'axe ?

Un moment constant τ opposé à la rotation modélise le frottement dans l'axe. Les équations donnent a = (mg − τ/r) / (m + I/r²) : τ diminue l'accélération de descente ; si τ ≥ mgr, il n'y a plus d'accélération.

Q: La masse compte-t-elle, ou seulement la forme ?

Les deux. La masse entre dans ma. La forme, par le moment d'inertie I : à m égale, un anneau (I = mR²) descend plus lentement qu'un disque (I = ½mR²).

Déroulement du fil : a = g/(1+I/mr²), T, α ; moment de frottement τ facultatif.

Graphiques

À propos du modèle

Dynamique d'un yoyo : la descente le long du fil couple translation et rotation. Un disque (ou un cylindre) de masse m et de moment d'inertie I se déroule d'un fil sans masse enroulé sur un axe de rayon r. Principe fondamental de la dynamique : mg − T = ma pour le centre d'inertie et Tr − τ = Iα pour la rotation ; sans glissement, a = rα. Si τ = 0, on obtient a = g / (1 + I/(mr²)) < g : une part de l'énergie va à la rotation. La tension est T = mg − ma. On peut faire varier I, r et un moment de frottement constant sur l'axe ; si τ ≥ mgr, le yoyo peut rester suspendu sans accélération. Le fil est inextensible et sans masse ; la descente est strictement verticale ; il n'y a pas de résistance de l'air.

Public : Terminale et L1 : dynamique du solide, moment d'inertie, tension.

Notions clés

moment d'inertie
accélération angulaire
moment d'une force
énergie cinétique de rotation
tension
principe fondamental de la dynamique

Comment ça marche

Le yoyo descend tant que le fil se déroule d'un petit axe de rayon r. Sans glissement, la vitesse du centre d'inertie et la vitesse angulaire sont liées par v = ωr. D'après les lois de Newton : mg − T = ma et Tr − τ_frottement = Iα, avec α = a/r. Si τ = 0, l'accélération est a = g/(1 + I/(mr²)) — nettement plus petite que celle de la chute libre, car l'énergie cinétique se partage entre translation et rotation. Un I plus grand ou un r plus petit (I/(mr²) plus grand) ralentissent la descente. Un moment freinant constant τ sur l'axe diminue α et a ; si τ ≥ mgr, le yoyo peut rester suspendu sans accélération.

Formules

mg − T = ma · Tr − τ = Iα · a = αr

τ = 0 : a = g/(1 + I/(mr²)) · α = (mgr − τ)/(I + mr²)

Questions fréquentes

Pourquoi le yoyo tombe-t-il plus lentement qu'en chute libre ?: Le poids accélère le centre d'inertie et, en même temps, met le disque en rotation. Une part de l'énergie potentielle va à l'énergie cinétique de rotation, donc a < g. Plus I est grand, plus la descente est lente.
Comment le rayon de l'axe influe-t-il sur l'accélération ?: D'après a = g / (1 + I/(mr²)), un r plus petit augmente I/(mr²) et diminue a. Le moment de la tension Tr est aussi plus petit, et il est plus difficile de mettre le disque en rotation.
Qu'apporte le moment de frottement sur l'axe ?: Un moment constant τ opposé à la rotation modélise le frottement dans l'axe. Les équations donnent a = (mg − τ/r) / (m + I/r²) : τ diminue l'accélération de descente ; si τ ≥ mgr, il n'y a plus d'accélération.
La masse compte-t-elle, ou seulement la forme ?: Les deux. La masse entre dans ma. La forme, par le moment d'inertie I : à m égale, un anneau (I = mR²) descend plus lentement qu'un disque (I = ½mR²).

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