Warum fällt das Yo-Yo langsamer als im freien Fall?

Die Gewichtskraft beschleunigt den Schwerpunkt und dreht zugleich die Scheibe an. Ein Teil der potenziellen Energie geht in Rotationsenergie, daher a < g. Größeres I — langsamerer Abstieg.

Wie beeinflusst der Achsradius die Beschleunigung?

Aus a = g / (1 + I/(mr²)) vergrößert kleineres r den Quotienten I/(mr²) und verkleinert a. Das Drehmoment der Spannung Tr ist dann ebenfalls kleiner, das Anlaufen der Drehung schwerer.

Was bewirkt das Reibungsmoment an der Achse?

Ein konstantes Moment τ entgegen der Drehung modelliert Reibung in der Achse. Aus den Gleichungen folgt a = (mg − τ/r) / (m + I/r²): τ verkleinert die Abstiegsbeschleunigung; bei τ ≥ mgr gibt es keine Beschleunigung.

Zählt die Masse oder nur die Form?

Beides. Die Masse steht in ma. Die Form geht über das Trägheitsmoment I ein: bei gleicher m steigt ein Ring (I = mR²) langsamer ab als eine Scheibe (I = ½mR²).

Yo-Yo-Dynamik

Q: Wie beeinflusst der Achsradius die Beschleunigung?

Aus a = g / (1 + I/(mr²)) vergrößert kleineres r den Quotienten I/(mr²) und verkleinert a. Das Drehmoment der Spannung Tr ist dann ebenfalls kleiner, das Anlaufen der Drehung schwerer.

Q: Was bewirkt das Reibungsmoment an der Achse?

Ein konstantes Moment τ entgegen der Drehung modelliert Reibung in der Achse. Aus den Gleichungen folgt a = (mg − τ/r) / (m + I/r²): τ verkleinert die Abstiegsbeschleunigung; bei τ ≥ mgr gibt es keine Beschleunigung.

Q: Zählt die Masse oder nur die Form?

Beides. Die Masse steht in ma. Die Form geht über das Trägheitsmoment I ein: bei gleicher m steigt ein Ring (I = mR²) langsamer ab als eine Scheibe (I = ½mR²).

Abwickeln des Fadens: a = g/(1+I/mr²), T, α, optional ein Reibungsmoment τ.

Diagramme

Zum Modell

Yo-Yo-Dynamik: der Abstieg am Faden koppelt Translation und Rotation. Eine Scheibe (oder ein Zylinder) der Masse m und des Trägheitsmoments I wickelt sich von einem masselosen Faden ab, der auf einer Achse vom Radius r aufgewickelt ist. Zweites Newtonsches Gesetz: mg − T = ma für den Schwerpunkt und Tr − τ = Iα für die Drehung; ohne Gleiten gilt a = rα. Bei τ = 0 folgt a = g / (1 + I/(mr²)) < g: ein Teil der Energie geht in die Rotation. Die Fadenspannung ist T = mg − ma. Man kann I, r und ein konstantes Reibungsmoment an der Achse ändern; bei τ ≥ mgr kann das Yo-Yo ohne Beschleunigung hängen. Der Faden ist masselos und undehnbar, der Abstieg streng lotrecht, Luftwiderstand fehlt.

Für wen: Oberstufe und erstes Semester: Dynamik des starren Körpers, Trägheitsmoment, Fadenspannung.

Wichtige Begriffe

Trägheitsmoment
Winkelbeschleunigung
Drehmoment
Rotationsenergie
Fadenspannung
zweites Newtonsches Gesetz

So funktioniert es

Das Yo-Yo fällt, solange sich der Faden von der kleinen Achse vom Radius r abwickelt. Ohne Gleiten sind Schwerpunktgeschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit durch v = ωr gekoppelt. Aus den Newtonschen Gesetzen: mg − T = ma und Tr − τ_Reibung = Iα mit α = a/r. Bei τ = 0 ist a = g/(1 + I/(mr²)) — deutlich kleiner als im freien Fall, weil sich die kinetische Energie in Translation und Rotation teilt. Größeres I oder kleineres r (größeres I/(mr²)) verlangsamen den Abstieg. Ein konstantes bremsendes Moment τ an der Achse verkleinert α und a; bei τ ≥ mgr kann das Yo-Yo ohne Beschleunigung hängen.

Wichtige Gleichungen

mg − T = ma · Tr − τ = Iα · a = αr

τ = 0: a = g/(1 + I/(mr²)) · α = (mgr − τ)/(I + mr²)

Häufige Fragen

Warum fällt das Yo-Yo langsamer als im freien Fall?: Die Gewichtskraft beschleunigt den Schwerpunkt und dreht zugleich die Scheibe an. Ein Teil der potenziellen Energie geht in Rotationsenergie, daher a < g. Größeres I — langsamerer Abstieg.
Wie beeinflusst der Achsradius die Beschleunigung?: Aus a = g / (1 + I/(mr²)) vergrößert kleineres r den Quotienten I/(mr²) und verkleinert a. Das Drehmoment der Spannung Tr ist dann ebenfalls kleiner, das Anlaufen der Drehung schwerer.
Was bewirkt das Reibungsmoment an der Achse?: Ein konstantes Moment τ entgegen der Drehung modelliert Reibung in der Achse. Aus den Gleichungen folgt a = (mg − τ/r) / (m + I/r²): τ verkleinert die Abstiegsbeschleunigung; bei τ ≥ mgr gibt es keine Beschleunigung.
Zählt die Masse oder nur die Form?: Beides. Die Masse steht in ma. Die Form geht über das Trägheitsmoment I ein: bei gleicher m steigt ein Ring (I = mR²) langsamer ab als eine Scheibe (I = ½mR²).

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