Pourquoi le satellite ralentit-il si le moment cinétique se conserve ? Où va l'énergie ?

Le moment cinétique Iω est constant et I croît, donc ω diminue. L'énergie cinétique de rotation ½Iω² ne se conserve pas : elle diminue ; une part passe dans le mouvement des masses au bout des câbles, puis se dissipe lorsqu'on largue les câbles.

Est-ce que l'on fait ça sur de vrais satellites ?

Oui : le yoyo est un moyen passif et simple d'enlever l'excès de rotation d'un étage ou d'un engin après la séparation. Il n'y a pas besoin de commande active.

Que deviennent les masses une fois les câbles tendus ?

On largue en général les câbles. Les masses partent à la tangente et le satellite reste avec une ω plus petite. Le modèle suit le système jusqu'à l'extension complète des câbles.

Compte-t-on le moment cinétique des masses elles-mêmes ?

Oui. Le moment total est la somme du corps et des deux masses. Au départ, les masses sont au rayon r_i ; à la fin, à L, avec la même vitesse angulaire ω_f.

Freinage en rotation d'un satellite (yoyo)

L = const : ω_f = ω_0(I+2mr_i²)/(I+2mL²) lorsque les câbles se déroulent de r_i jusqu'à L.

À propos du modèle

Freinage en rotation d'un satellite (yoyo) : mécanisme passif — deux masses m, d'abord à un rayon r_i, sont lâchées au bout de câbles de longueur L. Il n'y a pas de moment extérieur, donc le moment cinétique se conserve. Le moment d'inertie croît, et la vitesse angulaire diminue : ω_f = ω_0 (I + 2m r_i²) / (I + 2m L²), où I est le moment d'inertie du corps. L'énergie cinétique de rotation ½Iω² diminue : une part passe dans le mouvement des masses. Les câbles sont inextensibles et sans masse ; le corps est rigide ; on ne modélise pas les oscillations des masses.

Public : L1 et aérospatial : moment cinétique, moment d'inertie, rotation d'un solide.

Notions clés

conservation du moment cinétique
moment d'inertie
énergie cinétique de rotation
vitesse angulaire
freinage en rotation

Comment ça marche

Pas de moment extérieur : le moment cinétique se conserve, comme chez un patineur qui écarte les bras. Le rôle des bras est tenu par deux masses au bout de câbles : le rayon croît de r_i à L, le moment d'inertie I + 2mr² augmente et ω diminue. À l'écran, on voit le déroulement des câbles et la baisse de la vitesse angulaire ; la valeur finale est donnée par ω_f = ω_0 (I + 2m r_i²)/(I + 2m L²). L'énergie cinétique de rotation diminue.

Questions fréquentes

Pourquoi le satellite ralentit-il si le moment cinétique se conserve ? Où va l'énergie ?: Le moment cinétique Iω est constant et I croît, donc ω diminue. L'énergie cinétique de rotation ½Iω² ne se conserve pas : elle diminue ; une part passe dans le mouvement des masses au bout des câbles, puis se dissipe lorsqu'on largue les câbles.
Est-ce que l'on fait ça sur de vrais satellites ?: Oui : le yoyo est un moyen passif et simple d'enlever l'excès de rotation d'un étage ou d'un engin après la séparation. Il n'y a pas besoin de commande active.
Que deviennent les masses une fois les câbles tendus ?: On largue en général les câbles. Les masses partent à la tangente et le satellite reste avec une ω plus petite. Le modèle suit le système jusqu'à l'extension complète des câbles.
Compte-t-on le moment cinétique des masses elles-mêmes ?: Oui. Le moment total est la somme du corps et des deux masses. Au départ, les masses sont au rayon r_i ; à la fin, à L, avec la même vitesse angulaire ω_f.

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Deux masses identiques sur une tige, I = 2mr². À moment cinétique L constant, changer r ou m change la vitesse angulaire ω.

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