Pourquoi, à la même vitesse du centre, le disque qui roule a-t-il une énergie totale plus grande ?

Parce qu’il y a encore la part de rotation ½Iω². Avec v = ωR, elle vaut ½I(v/R)². Pour le disque qui glisse, ω = 0 et il ne reste que ½mv².

Pourquoi le cerceau a-t-il plus d’énergie de rotation que le disque, à m, R et v égaux ?

I_cerceau = mR², I_disque = ½mR². Au même ω = v/R, ½Iω² du cerceau est deux fois plus grand : la masse est plus loin de l’axe.

Le frottement travaille-t-il en roulement sans glissement ?

En roulement pur, le point de contact ne glisse pas : le frottement statique ne travaille pas. Il lie seulement v et ω. Des pertes apparaîtraient s’il y avait glissement.

Que signifie le rapport |v| / (|ω|R) = 1 ?

C’est la condition de non-glissement : la vitesse instantanée du point de contact est nulle. Si le rapport n’est pas égal à 1, il y a glissement au contact.

Roulement et glissement d’un disque

Roulement sans glissement v = ωR et glissement pur. Énergie cinétique de translation et de rotation ; disque I = ½mR² et cerceau I = mR².

Graphiques

À propos du modèle

Le roulement et le glissement d’un disque (ou d’un anneau mince) se comparent sur une piste horizontale. En roulement sans glissement, le point de contact est instantanément au repos, d’où v = ωR. L’énergie cinétique est la somme de la translation et de la rotation : K = ½mv² + ½Iω² ; pour un disque plein I = ½mR², pour un cerceau I = mR². À la même vitesse du centre de masse, le corps qui roule a une énergie totale plus grande que celui qui glisse seulement (ω = 0) : une part de l’énergie est dans la rotation. Pour le cerceau, cette part est plus grande que pour le disque. On choisit le roulement ou le glissement, la forme de la section, la masse, le rayon et la vitesse du centre. Les corps sont parfaitement rigides et il n’y a pas de pertes : le frottement soit impose la liaison v = ωR et ne travaille pas, soit est absent.

Public : Lycée et première année de licence : roulement, moment d’inertie, énergie cinétique de rotation.

Notions clés

moment d’inertie
énergie cinétique de rotation
énergie cinétique de translation
roulement sans glissement
condition v = ωR
disque
cerceau

Comment ça marche

Une roue sur une piste horizontale : en roulement sans glissement, le point de contact est instantanément au repos, v = ωR. Les énergies cinétiques de translation et de rotation s’ajoutent ; il n’y a pas de pertes, l’énergie mécanique totale est constante. À la même v du centre, le glissement n’a pas de rotation — toute l’énergie est de translation ; en roulement, l’énergie totale est plus grande.

Formules

Sans gliss. : v_cm = ω R · K = ½ m v² + ½ I ω²

Disque : I = ½ m R² · Anneau : I = m R² · Glissement : ω = 0 → K = ½ m v²

Questions fréquentes

Pourquoi, à la même vitesse du centre, le disque qui roule a-t-il une énergie totale plus grande ?: Parce qu’il y a encore la part de rotation ½Iω². Avec v = ωR, elle vaut ½I(v/R)². Pour le disque qui glisse, ω = 0 et il ne reste que ½mv².
Pourquoi le cerceau a-t-il plus d’énergie de rotation que le disque, à m, R et v égaux ?: I_cerceau = mR², I_disque = ½mR². Au même ω = v/R, ½Iω² du cerceau est deux fois plus grand : la masse est plus loin de l’axe.
Le frottement travaille-t-il en roulement sans glissement ?: En roulement pur, le point de contact ne glisse pas : le frottement statique ne travaille pas. Il lie seulement v et ω. Des pertes apparaîtraient s’il y avait glissement.
Que signifie le rapport |v| / (|ω|R) = 1 ?: C’est la condition de non-glissement : la vitesse instantanée du point de contact est nulle. Si le rapport n’est pas égal à 1, il y a glissement au contact.

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