Por que o ioiô cai mais devagar do que na queda livre?

O peso acelera o centro de massa e, ao mesmo tempo, faz o disco girar. Parte da energia potencial vira energia cinética de rotação, logo a < g. Quanto maior I, mais lenta a descida.

Como o raio do eixo influi na aceleração?

De a = g / (1 + I/(mr²)), um r menor aumenta I/(mr²) e reduz a. O momento da tração Tr também é menor e custa mais fazer o disco girar.

O que o momento de atrito no eixo faz?

Um momento constante τ contrário à rotação modela o atrito no eixo. Das equações, a = (mg − τ/r) / (m + I/r²): τ reduz a aceleração da descida; se τ ≥ mgr não há aceleração.

Importa a massa ou só a forma?

As duas. A massa entra em ma. A forma, pelo momento de inércia I: com a mesma m, um aro (I = mR²) desce mais devagar que um disco (I = ½mR²).

Dinâmica do ioiô

Q: Como o raio do eixo influi na aceleração?

De a = g / (1 + I/(mr²)), um r menor aumenta I/(mr²) e reduz a. O momento da tração Tr também é menor e custa mais fazer o disco girar.

Q: O que o momento de atrito no eixo faz?

Um momento constante τ contrário à rotação modela o atrito no eixo. Das equações, a = (mg − τ/r) / (m + I/r²): τ reduz a aceleração da descida; se τ ≥ mgr não há aceleração.

Q: Importa a massa ou só a forma?

As duas. A massa entra em ma. A forma, pelo momento de inércia I: com a mesma m, um aro (I = mR²) desce mais devagar que um disco (I = ½mR²).

Desenrolamento do fio: a = g/(1+I/mr²), T, α; momento de atrito τ opcional.

Gráficos

Sobre o modelo

A descida de um ioiô pelo fio é um movimento de translação e rotação acoplados. Um disco (ou cilindro) de massa m e momento de inércia I se desenrola de um fio sem peso enrolado num eixo de raio r. A segunda lei de Newton: mg − T = ma para o centro de massa e Tr − τ = Iα para a rotação; sem escorregamento, a = rα. Se τ = 0, obtém-se a = g / (1 + I/(mr²)) < g: parte da energia vai para a rotação. A tração é T = mg − ma. Pode-se variar I, r e um momento de atrito constante no eixo; se τ ≥ mgr, o ioiô pode ficar pendurado sem aceleração. O fio é inextensível e sem massa; a descida é estritamente vertical; não há resistência do ar.

Para quem: Ensino médio e início da graduação: dinâmica do corpo rígido, momento de inércia, tração.

Conceitos-chave

momento de inércia
aceleração angular
momento de uma força
energia cinética de rotação
tração
segunda lei de Newton

Como funciona

O ioiô desce enquanto o fio se desenrola de um eixo pequeno de raio r. Sem escorregamento, a velocidade do centro de massa e a velocidade angular ficam ligadas por v = ωr. Das leis de Newton: mg − T = ma e Tr − τ_atrito = Iα, com α = a/r. Se τ = 0, a aceleração é a = g/(1 + I/(mr²)) — bem menor que a da queda livre, porque a energia cinética se reparte entre translação e rotação. Um I maior ou um r menor (maior I/(mr²)) atrasam a descida. Um momento frenante constante τ no eixo reduz α e a; se τ ≥ mgr, o ioiô pode ficar pendurado sem aceleração.

Fórmulas principais

mg − T = ma · Tr − τ = Iα · a = αr

τ = 0: a = g/(1 + I/(mr²)) · α = (mgr − τ)/(I + mr²)

Perguntas frequentes

Por que o ioiô cai mais devagar do que na queda livre?: O peso acelera o centro de massa e, ao mesmo tempo, faz o disco girar. Parte da energia potencial vira energia cinética de rotação, logo a < g. Quanto maior I, mais lenta a descida.
Como o raio do eixo influi na aceleração?: De a = g / (1 + I/(mr²)), um r menor aumenta I/(mr²) e reduz a. O momento da tração Tr também é menor e custa mais fazer o disco girar.
O que o momento de atrito no eixo faz?: Um momento constante τ contrário à rotação modela o atrito no eixo. Das equações, a = (mg − τ/r) / (m + I/r²): τ reduz a aceleração da descida; se τ ≥ mgr não há aceleração.
Importa a massa ou só a forma?: As duas. A massa entra em ma. A forma, pelo momento de inércia I: com a mesma m, um aro (I = mR²) desce mais devagar que um disco (I = ½mR²).

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