Почему йо-йо падает медленнее свободного падения?

Сила тяжести и разгоняет центр масс, и раскручивает диск. Часть потенциальной энергии идёт во вращательную кинетическую, поэтому a < g. Больше I — медленнее спуск.

Как радиус оси влияет на ускорение?

Из a = g / (1 + I/(mr²)) меньший r увеличивает I/(mr²) и уменьшает a. Момент натяжения Tr тоже меньше, раскрутка труднее.

Что даёт момент трения на оси?

Постоянный момент τ против вращения моделирует трение в оси. Из уравнений a = (mg − τ/r) / (m + I/r²) следует, что τ уменьшает ускорение спуска; при τ ≥ mgr ускорения нет.

Важна масса или только форма?

Оба. Масса входит в ma. Форма — через момент инерции I: при той же m обруч (I = mR²) спускается медленнее диска (I = ½mR²).

Динамика йо-йо

Q: Как радиус оси влияет на ускорение?

Из a = g / (1 + I/(mr²)) меньший r увеличивает I/(mr²) и уменьшает a. Момент натяжения Tr тоже меньше, раскрутка труднее.

Q: Что даёт момент трения на оси?

Постоянный момент τ против вращения моделирует трение в оси. Из уравнений a = (mg − τ/r) / (m + I/r²) следует, что τ уменьшает ускорение спуска; при τ ≥ mgr ускорения нет.

Q: Важна масса или только форма?

Оба. Масса входит в ma. Форма — через момент инерции I: при той же m обруч (I = mR²) спускается медленнее диска (I = ½mR²).

Разматывание нити: a = g/(1+I/mr²), T, α, опциональный момент силы трения τ.

Ось, момент инерции, опционально трение в подшипнике

Масса m0.072 kg

I относительно оси0.000032 kg·m²

Радиус оси r (нить)0.0042 m

Ускорение g9.81 m/s²

Момент трения τ (против вращения)0 N·m

Макс. падение (длина нити)1.35 m

Идеал: a = g/(1 + I/(mr²)), T = m(g − a). Момент Tr = Iα при α = a/r. Добавьте τ, противодействующий вращению: α = (mgr − τ)/(I + mr²).

Горячие клавиши

Пробел или Enter — падение с покоя
R — сброс

Измеренные величины

a_ЦМ (пост. при падении)0.3745m/s²

α (пост.)89.17rad/s²

Натяжение T0.679N

a / g0.0382

m g r (макс. τ для движения)0.00297N·m

Графики

О модели

Спуск йо-йо по нити — связанное поступательное и вращательное движение. Диск (или цилиндр) массы m и момента инерции I разматывается с невесомой нити, намотанной на ось радиуса r. Второй закон Ньютона: mg − T = ma для центра масс и Tr − τ = Iα для вращения; без проскальзывания a = rα. При τ = 0 получается a = g / (1 + I/(mr²)) < g: часть энергии уходит во вращение. Натяжение T = mg − ma. Можно менять I, r и постоянный момент трения на оси; если τ ≥ mgr, йо-йо может висеть без ускорения. Нить невесома и нерастяжима, спуск строго вертикальный, сопротивления воздуха нет.

Для кого: 10–11 класс и первый курс: динамика твёрдого тела, момент инерции, натяжение.

Ключевые понятия

момент инерции
угловое ускорение
момент силы
кинетическая энергия вращения
сила натяжения
второй закон Ньютона

Как это работает

Йо-йо падает, пока нить сматывается с малой оси радиуса r. При отсутствии проскальзывания скорость центра масс и угловая скорость связаны условием v = ωr. Из законов Ньютона: mg − T = ma и Tr − τ_трения = Iα, где α = a/r. При τ = 0 ускорение a = g/(1 + I/(mr²)) — значительно меньше свободного падения, так как кинетическая энергия делится на поступательную и вращательную. Больший I или меньший r (большее I/(mr²)) замедляют спуск. Постоянный тормозящий момент τ на оси уменьшает α и a, и если τ ≥ mgr, йо-йо может висеть без ускорения.

Основные формулы

mg − T = ma · Tr − τ = Iα · a = αr

τ = 0: a = g/(1 + I/(mr²)) · α = (mgr − τ)/(I + mr²)

Часто задаваемые вопросы

Почему йо-йо падает медленнее свободного падения?: Сила тяжести и разгоняет центр масс, и раскручивает диск. Часть потенциальной энергии идёт во вращательную кинетическую, поэтому a < g. Больше I — медленнее спуск.
Как радиус оси влияет на ускорение?: Из a = g / (1 + I/(mr²)) меньший r увеличивает I/(mr²) и уменьшает a. Момент натяжения Tr тоже меньше, раскрутка труднее.
Что даёт момент трения на оси?: Постоянный момент τ против вращения моделирует трение в оси. Из уравнений a = (mg − τ/r) / (m + I/r²) следует, что τ уменьшает ускорение спуска; при τ ≥ mgr ускорения нет.
Важна масса или только форма?: Оба. Масса входит в ma. Форма — через момент инерции I: при той же m обруч (I = mR²) спускается медленнее диска (I = ½mR²).

Продолжите с близкими темами в этой категории — или все 85 в «Классическая механика».

Вся категория →

НовоеШкольные