Pourquoi la vitesse de rotation augmente-t-elle quand on rapproche les masses de l’axe ?

L = Iω doit rester le même. On a rapproché les masses : I = 2mr² a diminué, donc ω a augmenté. Ainsi le patineur accélère sa rotation en ramenant les bras.

L’énergie cinétique de rotation se conserve-t-elle ?

Non. K_rot = ½Iω², à L constant, croît lorsque I diminue : K = L²/(2I). L’énergie supplémentaire est le travail de rapprochement des masses vers l’axe, contre la force centrifuge dans le référentiel tournant.

Que laisse de côté le modèle ?

La répartition de masse sur la tige, le frottement sur l’axe et la résistance de l’air. Il n’y a pas de moment extérieur, donc L est strictement constant. Dans la vie, la résistance diminue lentement le moment cinétique.

Où cela sert-il, hors du patineur ?

Les roues de réaction d’un satellite orientent l’appareil sans moteurs. L’effondrement d’une étoile diminue I et accélère le résidu — ainsi naissent les pulsars rapides.

Moment cinétique

Deux masses identiques sur une tige, I = 2mr². À moment cinétique L constant, changer r ou m change la vitesse angulaire ω.

Graphiques

À propos du modèle

Moment cinétique : si le moment extérieur est nul, L = Iω se conserve. Deux points matériels sur une tige de masse nulle tournent autour d’un axe par le milieu ; I = 2mr². Si l’on rapproche les masses de l’axe, I diminue, ω augmente — comme un patineur qui ramène les bras. L’énergie cinétique ½Iω² ne se conserve pas pour autant : rapprocher les masses radialement demande un travail. On peut faire varier m, r et imposer ω (nouvelle valeur de L). La tige est de masse nulle et rigide, il n’y a pas de frottement sur l’axe.

Public : Lycée et L1 : moment cinétique, moment d’inertie, rotation.

Notions clés

moment cinétique
moment d’inertie
conservation du moment cinétique
vitesse angulaire
énergie cinétique de rotation
moment d’une force

Comment ça marche

Rotation autour d’un axe fixe par le centre : si le moment extérieur est nul, le moment cinétique L = Iω est constant. Si l’on rapproche les masses de l’axe, I = 2mr² diminue et ω augmente pour conserver L — comme un patineur. Vue de dessus : haltère de deux points.

Formules

L = I ω · I = 2 m r² (deux masses ponctuelles égales)

À L constant : ω′ = L / I′ · K = L² / (2I)

Questions fréquentes

Pourquoi la vitesse de rotation augmente-t-elle quand on rapproche les masses de l’axe ?: L = Iω doit rester le même. On a rapproché les masses : I = 2mr² a diminué, donc ω a augmenté. Ainsi le patineur accélère sa rotation en ramenant les bras.
L’énergie cinétique de rotation se conserve-t-elle ?: Non. K_rot = ½Iω², à L constant, croît lorsque I diminue : K = L²/(2I). L’énergie supplémentaire est le travail de rapprochement des masses vers l’axe, contre la force centrifuge dans le référentiel tournant.
Que laisse de côté le modèle ?: La répartition de masse sur la tige, le frottement sur l’axe et la résistance de l’air. Il n’y a pas de moment extérieur, donc L est strictement constant. Dans la vie, la résistance diminue lentement le moment cinétique.
Où cela sert-il, hors du patineur ?: Les roues de réaction d’un satellite orientent l’appareil sans moteurs. L’effondrement d’une étoile diminue I et accélère le résidu — ainsi naissent les pulsars rapides.

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