Pourquoi le travail vaut-il ½kx² et non kx · x ?

La force n'est pas constante : elle croît de zéro jusqu'à kx. La force moyenne vaut (0 + kx)/2 = ½kx, le travail ½kx · x = ½kx². Sur le graphe F–x, c'est l'aire d'un triangle, pas d'un rectangle.

Est-ce la même chose en compression qu'en extension ?

Oui. L'écart x se compte depuis l'équilibre et la force s'oppose au déplacement (le signe moins dans F = −kx). Le travail comme l'énergie stockée valent encore ½kx².

En quoi le travail sur le ressort diffère-t-il du travail du ressort ?

Ils ont même module et des signes opposés. En étirant le ressort, vous effectuez un travail positif et stockez de l'énergie. En le relâchant lentement, le ressort effectue un travail négatif sur la main. Sur le graphe, l'aire hachurée est le travail de la force extérieure sur le ressort.

Pourquoi la masse s'arrête-t-elle au même écart d'où elle est partie ?

Sans frottement, l'énergie mécanique se conserve. À l'extrémité, toute l'énergie est potentielle. Pour redevenir potentielle, l'énergie cinétique doit passer entièrement dans U : c'est le même écart maximal.

Loi de Hooke

Graphe F = kx ; le travail est l'aire W = ½kx² ; courbe d'énergie potentielle U(x).

Graphiques

À propos du modèle

La loi de Hooke affirme que la force de rappel d'un ressort idéal est proportionnelle à l'écart par rapport à l'équilibre : F = −kx. Sur le graphe F(x), la pente de la droite est la raideur k. Le travail d'extension ou de compression est l'aire sous la courbe ; pour un ressort linéaire cette aire est un triangle, d'où W = ½kx². La même grandeur se stocke comme énergie potentielle élastique U = ½kx². Une masse sur une surface horizontale sans frottement, une fois lâchée, échange U et énergie cinétique : ½kx² + ½mv² = const. Le ressort est de masse nulle, il n'y a pas d'amortissement, et la loi de Hooke vaut sur tout l'intervalle de déplacements.

Public : Mécanique de lycée : loi de Hooke, travail de la force de rappel, énergie potentielle du ressort, oscillations harmoniques.

Notions clés

loi de Hooke
raideur du ressort
travail de la force de rappel
énergie potentielle élastique
graphe F(x)
énergie cinétique
oscillations harmoniques

Comment ça marche

Loi de Hooke : la force du ressort croît linéairement, F = kx. Le travail d'une extension lente depuis l'équilibre jusqu'à x est l'aire du triangle sur le graphe F–x : W = ½kx². La même grandeur se stocke comme énergie potentielle U. À l'écran : la droite F(x), l'aire hachurée et la courbe U(x).

Formules

W = ∫₀^x F(x') dx' = ∫₀^x kx' dx' = ½ k x² = U

Questions fréquentes

Pourquoi le travail vaut-il ½kx² et non kx · x ?: La force n'est pas constante : elle croît de zéro jusqu'à kx. La force moyenne vaut (0 + kx)/2 = ½kx, le travail ½kx · x = ½kx². Sur le graphe F–x, c'est l'aire d'un triangle, pas d'un rectangle.
Est-ce la même chose en compression qu'en extension ?: Oui. L'écart x se compte depuis l'équilibre et la force s'oppose au déplacement (le signe moins dans F = −kx). Le travail comme l'énergie stockée valent encore ½kx².
En quoi le travail sur le ressort diffère-t-il du travail du ressort ?: Ils ont même module et des signes opposés. En étirant le ressort, vous effectuez un travail positif et stockez de l'énergie. En le relâchant lentement, le ressort effectue un travail négatif sur la main. Sur le graphe, l'aire hachurée est le travail de la force extérieure sur le ressort.
Pourquoi la masse s'arrête-t-elle au même écart d'où elle est partie ?: Sans frottement, l'énergie mécanique se conserve. À l'extrémité, toute l'énergie est potentielle. Pour redevenir potentielle, l'énergie cinétique doit passer entièrement dans U : c'est le même écart maximal.

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