¿Por qué el trabajo es ½kx² y no kx · x?

La fuerza no es constante: crece de cero hasta kx. La fuerza media es (0 + kx)/2 = ½kx, y el trabajo ½kx · x = ½kx². En la gráfica F–x eso es el área de un triángulo, no de un rectángulo.

¿Al comprimir ocurre lo mismo que al estirar?

Sí. El desplazamiento x se mide desde el equilibrio y la fuerza se opone al desplazamiento (el signo menos en F = −kx). Tanto el trabajo como la energía almacenada vuelven a ser ½kx².

¿En qué se diferencia el trabajo sobre el resorte del trabajo del resorte?

Tienen el mismo módulo y signos opuestos. Al estirar el resorte usted realiza trabajo positivo y almacena energía. Al soltarlo despacio, el resorte realiza trabajo negativo sobre la mano. En la gráfica está sombreado el trabajo de la fuerza externa sobre el resorte.

¿Por qué el cuerpo se detiene en el mismo desplazamiento del que partió?

Sin fricción se conserva la energía mecánica. En el extremo toda la energía es potencial. Para volver a ser potencial, la cinética tiene que pasar entera a U: ese es el mismo desplazamiento máximo.

Ley de Hooke

Gráfica F = kx; el trabajo es el área W = ½kx²; curva de energía potencial U(x).

Gráficas

Sobre el modelo

La ley de Hooke afirma que la fuerza elástica de un resorte ideal es proporcional al desplazamiento respecto del equilibrio: F = −kx. En la gráfica F(x) la pendiente de la recta es la constante elástica k. El trabajo de estirar o comprimir es el área bajo la curva; para un resorte lineal ese área es un triángulo, de modo que W = ½kx². La misma magnitud se almacena como energía potencial elástica U = ½kx². Un cuerpo en una superficie horizontal sin fricción, al soltarse, intercambia U y energía cinética: ½kx² + ½mv² = const. El resorte no tiene masa, no hay amortiguamiento y la ley de Hooke vale en todo el intervalo de desplazamientos.

Para quién: Mecánica de bachillerato: ley de Hooke, trabajo de la fuerza elástica, energía potencial del resorte, oscilaciones armónicas.

Conceptos clave

ley de Hooke
constante elástica
trabajo de la fuerza elástica
energía potencial elástica
gráfica F(x)
energía cinética
oscilaciones armónicas

Cómo funciona

Ley de Hooke: la fuerza del resorte crece en forma lineal, F = kx. El trabajo al estirar despacio desde el equilibrio hasta x es el área del triángulo en la gráfica F–x: W = ½kx². La misma magnitud se almacena como energía potencial U. En pantalla, la recta F(x), el área sombreada y la curva U(x).

Fórmulas principales

W = ∫₀^x F(x') dx' = ∫₀^x kx' dx' = ½ k x² = U

Preguntas frecuentes

¿Por qué el trabajo es ½kx² y no kx · x?: La fuerza no es constante: crece de cero hasta kx. La fuerza media es (0 + kx)/2 = ½kx, y el trabajo ½kx · x = ½kx². En la gráfica F–x eso es el área de un triángulo, no de un rectángulo.
¿Al comprimir ocurre lo mismo que al estirar?: Sí. El desplazamiento x se mide desde el equilibrio y la fuerza se opone al desplazamiento (el signo menos en F = −kx). Tanto el trabajo como la energía almacenada vuelven a ser ½kx².
¿En qué se diferencia el trabajo sobre el resorte del trabajo del resorte?: Tienen el mismo módulo y signos opuestos. Al estirar el resorte usted realiza trabajo positivo y almacena energía. Al soltarlo despacio, el resorte realiza trabajo negativo sobre la mano. En la gráfica está sombreado el trabajo de la fuerza externa sobre el resorte.
¿Por qué el cuerpo se detiene en el mismo desplazamiento del que partió?: Sin fricción se conserva la energía mecánica. En el extremo toda la energía es potencial. Para volver a ser potencial, la cinética tiene que pasar entera a U: ese es el mismo desplazamiento máximo.

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