Warum ist die Arbeit ½kx² und nicht kx · x?

Die Kraft ist nicht konstant: sie wächst von null bis kx. Die mittlere Kraft ist (0 + kx)/2 = ½kx, die Arbeit ½kx · x = ½kx². Im Graphen F–x ist das die Fläche eines Dreiecks, nicht eines Rechtecks.

Gilt beim Stauchen dasselbe wie beim Dehnen?

Ja. Die Auslenkung x zählt von der Gleichgewichtslage, die Kraft ist der Auslenkung entgegengesetzt (Minus in F = −kx). Arbeit und gespeicherte Energie sind wieder ½kx².

Worin unterscheidet sich die Arbeit an der Feder von der Arbeit der Feder?

Sie sind dem Betrag nach gleich und entgegengesetzt im Vorzeichen. Wenn Sie die Feder dehnen, verrichten Sie positive Arbeit und speichern Energie. Beim langsamen Loslassen verrichtet die Feder negative Arbeit an der Hand. Im Graphen ist die Arbeit der äußeren Kraft an der Feder schraffiert.

Warum bleibt der Körper bei derselben Auslenkung stehen, von der er startete?

Ohne Reibung bleibt die mechanische Energie erhalten. In der Umkehrlage ist alle Energie potentiell. Damit sie wieder potentiell wird, muss die kinetische Energie vollständig in U übergehen — das ist dieselbe maximale Auslenkung.

Hookesches Gesetz

Graph F = kx; die Arbeit ist die Fläche W = ½kx²; Kurve der potentiellen Energie U(x).

Diagramme

Zum Modell

Das Hookesche Gesetz: die Federkraft einer idealen Feder ist proportional zur Auslenkung aus der Gleichgewichtslage, F = −kx. Im Graphen F(x) ist die Steigung der Geraden die Federkonstante k. Die Arbeit beim Dehnen oder Stauchen ist die Fläche unter der Kurve; bei linearer Feder ein Dreieck, daher W = ½kx². Derselbe Betrag wird als potentielle Energie der Feder U = ½kx² gespeichert. Ein Körper auf reibungsfreier waagerechter Unterlage tauscht nach dem Loslassen U und kinetische Energie: ½kx² + ½mv² = const. Die Feder ist masselos, es gibt keine Dämpfung, das Hookesche Gesetz gilt im ganzen Auslenkungsbereich.

Für wen: Schulmechanik: Hookesches Gesetz, Arbeit der Federkraft, potentielle Energie der Feder, harmonische Schwingung.

Wichtige Begriffe

Hookesches Gesetz
Federkonstante
Arbeit der Federkraft
potentielle Energie der Feder
Graph F(x)
kinetische Energie
harmonische Schwingung

So funktioniert es

Hookesches Gesetz: die Federkraft wächst linear, F = kx. Die Arbeit beim langsamen Dehnen aus der Gleichgewichtslage bis x ist die Fläche des Dreiecks im Graphen F–x: W = ½kx². Derselbe Betrag wird als potentielle Energie U gespeichert. Auf dem Bildschirm: die Gerade F(x), die schraffierte Fläche und die Kurve U(x).

Wichtige Gleichungen

W = ∫₀^x F(x') dx' = ∫₀^x kx' dx' = ½ k x² = U

Häufige Fragen

Warum ist die Arbeit ½kx² und nicht kx · x?: Die Kraft ist nicht konstant: sie wächst von null bis kx. Die mittlere Kraft ist (0 + kx)/2 = ½kx, die Arbeit ½kx · x = ½kx². Im Graphen F–x ist das die Fläche eines Dreiecks, nicht eines Rechtecks.
Gilt beim Stauchen dasselbe wie beim Dehnen?: Ja. Die Auslenkung x zählt von der Gleichgewichtslage, die Kraft ist der Auslenkung entgegengesetzt (Minus in F = −kx). Arbeit und gespeicherte Energie sind wieder ½kx².
Worin unterscheidet sich die Arbeit an der Feder von der Arbeit der Feder?: Sie sind dem Betrag nach gleich und entgegengesetzt im Vorzeichen. Wenn Sie die Feder dehnen, verrichten Sie positive Arbeit und speichern Energie. Beim langsamen Loslassen verrichtet die Feder negative Arbeit an der Hand. Im Graphen ist die Arbeit der äußeren Kraft an der Feder schraffiert.
Warum bleibt der Körper bei derselben Auslenkung stehen, von der er startete?: Ohne Reibung bleibt die mechanische Energie erhalten. In der Umkehrlage ist alle Energie potentiell. Damit sie wieder potentiell wird, muss die kinetische Energie vollständig in U übergehen — das ist dieselbe maximale Auslenkung.

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