Почему работа равна ½kx², а не kx · x?

Сила не постоянна: она растёт от нуля до kx. Средняя сила (0 + kx)/2 = ½kx, работа ½kx · x = ½kx². На графике F–x это площадь треугольника, а не прямоугольника.

То же самое при сжатии, что и при растяжении?

Да. Смещение x отсчитывают от равновесия, сила противоположна смещению (минус в F = −kx). И работа, и запасённая энергия снова ½kx².

Чем работа над пружиной отличается от работы пружины?

Они равны по модулю и противоположны по знаку. Растягивая пружину, вы совершаете положительную работу и запасаете энергию. При медленном отпускании пружина совершает отрицательную работу над рукой. На графике заштрихована работа внешней силы над пружиной.

Почему грузик останавливается на том же смещении, с которого начал?

Без трения механическая энергия сохраняется. В крайнем положении вся энергия — потенциальная. Чтобы снова стать потенциальной, кинетическая энергия должна полностью уйти в U — это то же максимальное смещение.

Закон Гука

График F = kx; работа — площадь W = ½kx²; кривая потенциальной энергии U(x).

Графики

О модели

Закон Гука: сила упругости идеальной пружины пропорциональна смещению от положения равновесия, F = −kx. На графике F(x) наклон прямой — жёсткость k. Работа по растяжению или сжатию равна площади под кривой; для линейной пружины это треугольник, поэтому W = ½kx². Та же величина запасается как потенциальная энергия упругости U = ½kx². Грузик на горизонтальной поверхности без трения после отпускания обменивает U и кинетическую энергию: ½kx² + ½mv² = const. Пружина невесома, затухания нет, закон Гука выполняется во всём диапазоне смещений.

Для кого: Школьная механика: закон Гука, работа силы упругости, потенциальная энергия пружины, гармонические колебания.

Ключевые понятия

закон Гука
жёсткость пружины
работа силы упругости
потенциальная энергия упругости
график F(x)
кинетическая энергия
гармонические колебания

Как это работает

Закон Гука: сила пружины растёт линейно, F = kx. Работа при медленном растяжении от равновесия до x равна площади треугольника на графике F–x: W = ½kx². Та же величина запасается как потенциальная энергия U. На экране — прямая F(x), заштрихованная площадь и кривая U(x).

Основные формулы

W = ∫₀^x F(x') dx' = ∫₀^x kx' dx' = ½ k x² = U

Часто задаваемые вопросы

Почему работа равна ½kx², а не kx · x?: Сила не постоянна: она растёт от нуля до kx. Средняя сила (0 + kx)/2 = ½kx, работа ½kx · x = ½kx². На графике F–x это площадь треугольника, а не прямоугольника.
То же самое при сжатии, что и при растяжении?: Да. Смещение x отсчитывают от равновесия, сила противоположна смещению (минус в F = −kx). И работа, и запасённая энергия снова ½kx².
Чем работа над пружиной отличается от работы пружины?: Они равны по модулю и противоположны по знаку. Растягивая пружину, вы совершаете положительную работу и запасаете энергию. При медленном отпускании пружина совершает отрицательную работу над рукой. На графике заштрихована работа внешней силы над пружиной.
Почему грузик останавливается на том же смещении, с которого начал?: Без трения механическая энергия сохраняется. В крайнем положении вся энергия — потенциальная. Чтобы снова стать потенциальной, кинетическая энергия должна полностью уйти в U — это то же максимальное смещение.

Продолжите с близкими темами в этой категории — или все 85 в «Классическая механика».

Вся категория →

Школьные