Pourquoi la particule tantôt rebrousse chemin, tantôt part « à l’infini » ?

Les points de retournement sont fixés par la conservation de l’énergie. Si E < U(x) sur un intervalle, l’énergie cinétique E − U serait négative : la particule n’y entre pas et rebrousse chemin là où U = E. Si E dépasse U partout, le mouvement n’est pas borné.

Qu’est-ce que le plan de phase, et pourquoi la trajectoire est-elle parfois une boucle fermée ?

Les axes sont la position x et la vitesse v ; le point (x, v) fixe complètement l’état. En mouvement périodique (puits harmonique), le système revient aux mêmes couples (x, v) : sur le graphe, une courbe fermée, ligne de niveau de E constante : E = ½mv² + U(x).

Pourquoi y a-t-il un signe moins dans F = −dU/dx ?

Le moins oriente la force vers les U décroissants. Les systèmes « dévalent » vers une énergie potentielle plus basse. Pour U = mgh, F = −mg pointe vers le bas : h et U diminuent.

Y a-t-il du frottement dans le modèle ?

Non : le système est conservatif, E = KE + U reste constante (sauf une légère dérive numérique). Dans la vie, la dissipation transforme l’énergie mécanique en chaleur.

Champ de force unidimensionnel

Q: Qu’est-ce que le plan de phase, et pourquoi la trajectoire est-elle parfois une boucle fermée ?

Les axes sont la position x et la vitesse v ; le point (x, v) fixe complètement l’état. En mouvement périodique (puits harmonique), le système revient aux mêmes couples (x, v) : sur le graphe, une courbe fermée, ligne de niveau de E constante : E = ½mv² + U(x).

Q: Pourquoi y a-t-il un signe moins dans F = −dU/dx ?

Le moins oriente la force vers les U décroissants. Les systèmes « dévalent » vers une énergie potentielle plus basse. Pour U = mgh, F = −mg pointe vers le bas : h et U diminuent.

Q: Y a-t-il du frottement dans le modèle ?

Non : le système est conservatif, E = KE + U reste constante (sauf une légère dérive numérique). Dans la vie, la dissipation transforme l’énergie mécanique en chaleur.

Cas de U(x), F = −U′, perle sur le potentiel, plan de phase (x, v) et E(t).

Graphiques

À propos du modèle

Un champ de force unidimensionnel est défini par l’énergie potentielle U(x) : la force conservative vaut F(x) = −dU/dx, le mouvement du point matériel obéit à ma = F(x), et l’énergie mécanique E = ½mv² + U(x) se conserve. La perle glisse sans frottement sur la courbe du potentiel. Les jeux de paramètres — puits harmonique, double puits, barrière en marche — montrent, d’après la forme de U, le mouvement borné et le mouvement non borné. À l’écran : la coordonnée x, le plan de phase (x, v) et les graphes d’énergie. Pas de frottement, mouvement strictement unidimensionnel, particule ponctuelle. Équilibre stable aux minima de U, instable aux maxima ; les énergies cinétique et potentielle s’échangent.

Public : Terminale et L1 : potentiel, forces conservatives, plan de phase.

Notions clés

énergie potentielle
force conservative
point d’équilibre
plan de phase
conservation de l’énergie
deuxième loi de Newton

Comment ça marche

Dynamique conservative unidimensionnelle à partir du potentiel U(x). La force est F = −dU/dx, donc l’énergie totale E = ½mv² + U(x) se conserve (à une légère dérive numérique près). Le puits harmonique donne des trajectoires de phase elliptiques ; le double puits admet un mouvement périodique dans un seul puits, ou des trajectoires plus complexes s’il y a assez d’énergie.

Formules

F = −dU/dx · mẍ = F

E = ½mv² + U(x) · double puits : U ∝ x⁴/4 − x²/2

Questions fréquentes

Pourquoi la particule tantôt rebrousse chemin, tantôt part « à l’infini » ?: Les points de retournement sont fixés par la conservation de l’énergie. Si E < U(x) sur un intervalle, l’énergie cinétique E − U serait négative : la particule n’y entre pas et rebrousse chemin là où U = E. Si E dépasse U partout, le mouvement n’est pas borné.
Qu’est-ce que le plan de phase, et pourquoi la trajectoire est-elle parfois une boucle fermée ?: Les axes sont la position x et la vitesse v ; le point (x, v) fixe complètement l’état. En mouvement périodique (puits harmonique), le système revient aux mêmes couples (x, v) : sur le graphe, une courbe fermée, ligne de niveau de E constante : E = ½mv² + U(x).
Pourquoi y a-t-il un signe moins dans F = −dU/dx ?: Le moins oriente la force vers les U décroissants. Les systèmes « dévalent » vers une énergie potentielle plus basse. Pour U = mgh, F = −mg pointe vers le bas : h et U diminuent.
Y a-t-il du frottement dans le modèle ?: Non : le système est conservatif, E = KE + U reste constante (sauf une légère dérive numérique). Dans la vie, la dissipation transforme l’énergie mécanique en chaleur.

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