Pourquoi la trace de la masse est-elle si embrouillée s’il n’y a que deux forces ?

L’oscillation et l’allongement sont des degrés de liberté distincts, et ils sont couplés : en s’écartant, la longueur change ; en s’allongeant, le moment du poids change. Un système conservatif peut ne pas être chaotique au sens strict, mais les trajectoires sont très sensibles aux conditions initiales et paraissent irrégulières.

En quoi cela diffère-t-il d’un pendule simple ?

Chez le pendule simple, la longueur du fil est fixe : il reste un seul angle. Ici le ressort s’allonge, apparaît la coordonnée radiale r, et les deux modes échangent de l’énergie.

L’énergie mécanique se conserve-t-elle ?

Sans amortissement, oui : la somme des énergies cinétique, élastique et potentielle de pesanteur est constante. Un faible amortissement emporte l’énergie peu à peu ; on le voit sur le graphe de E totale.

Pendule à ressort

Pendule élastique dans le plan : l’oscillation et l’allongement du ressort sont couplés, l’énergie passe d’un mode à l’autre. Jeux de paramètres à trajectoire presque irrégulière.

Graphiques

À propos du modèle

Le pendule à ressort (pendule élastique) est un point matériel sur un ressort de Hooke de longueur à vide L₀, suspendu dans le plan vertical. Il y a deux degrés de liberté couplés : l’oscillation angulaire et l’allongement. La force de rappel −k(r − L₀) pointe vers le point de suspension ; le poids, à la verticale. L’énergie s’échange entre l’énergie potentielle de pesanteur, l’énergie élastique et l’énergie cinétique ; les trajectoires ressemblent souvent à des figures de Lissajous et, pour certaines conditions initiales, la figure paraît irrégulière. On peut activer un faible amortissement ; la flexion du ressort et les chocs contre le support ne sont pas pris en compte.

Public : Premier cycle et théorie des oscillations : degrés de liberté couplés, loi de Hooke, échange d’énergie entre modes.

Notions clés

loi de Hooke
pendule élastique
oscillations couplées
figures de Lissajous
conditions initiales

Comment ça marche

Masse sur un ressort sans masse, dans le plan vertical : mẍ = −k(r − L₀)x/r − cẋ, mÿ = −k(r − L₀)y/r + mg − cẏ (axe y vers le bas). Les degrés de liberté radial et angulaire sont couplés, donc la trace n’est ni une ellipse ni un cercle. Les graphes r(t) et θ(t) montrent l’échange entre modes. Avec un faible amortissement, l’énergie mécanique totale se conserve presque.

Formules

mẍ = −k(r − L₀)x/r − cẋ, mÿ = −k(r − L₀)y/r + mg − cẏ, r = √(x² + y²)

U = ½k(r − L₀)² − mgy (y vers le bas depuis la fixation) ; l’« aspect chaotique » est sensible aux conditions initiales, pas au bruit de l’intégrateur.

Questions fréquentes

Pourquoi la trace de la masse est-elle si embrouillée s’il n’y a que deux forces ?: L’oscillation et l’allongement sont des degrés de liberté distincts, et ils sont couplés : en s’écartant, la longueur change ; en s’allongeant, le moment du poids change. Un système conservatif peut ne pas être chaotique au sens strict, mais les trajectoires sont très sensibles aux conditions initiales et paraissent irrégulières.
En quoi cela diffère-t-il d’un pendule simple ?: Chez le pendule simple, la longueur du fil est fixe : il reste un seul angle. Ici le ressort s’allonge, apparaît la coordonnée radiale r, et les deux modes échangent de l’énergie.
L’énergie mécanique se conserve-t-elle ?: Sans amortissement, oui : la somme des énergies cinétique, élastique et potentielle de pesanteur est constante. Un faible amortissement emporte l’énergie peu à peu ; on le voit sur le graphe de E totale.

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