Warum ist die Spur der Masse so verworren, obwohl nur zwei Kräfte wirken?

Schwingen und Dehnen sind verschiedene Freiheitsgrade, und sie sind gekoppelt: beim Auslenken ändert sich die Länge, beim Dehnen das Moment der Gewichtskraft. Ein konservatives System muss nicht im strengen Sinn chaotisch sein, aber die Bahnen sind sehr empfindlich gegen die Anfangsbedingungen und wirken unregelmäßig.

Worin unterscheidet sich das vom mathematischen Pendel?

Beim mathematischen Pendel ist die Fadenlänge fest, es bleibt ein Winkel. Hier dehnt sich die Feder, es kommt die Radialkoordinate r hinzu, und die beiden Moden tauschen Energie.

Bleibt die mechanische Energie erhalten?

Bei verschwindender Dämpfung ja: die Summe aus kinetischer, Feder- und potentieller Lageenergie ist konstant. Schwache Dämpfung führt die Energie langsam ab; im Graphen der gesamten E sieht man das.

Elastisches Pendel / Federpendel in der Ebene

Elastisches Pendel in der Ebene: Schwingen und Dehnen der Feder sind gekoppelt, Energie wandert zwischen den Moden. Voreinstellungen mit fast unregelmäßiger Bahn.

Diagramme

Zum Modell

Das elastische Pendel — ein Federpendel in der Ebene — ist ein Massenpunkt an einer Hooke-Feder der Ruhelänge L₀, aufgehängt in der vertikalen Ebene. Es gibt zwei gekoppelte Freiheitsgrade: Schwingen und Dehnen. Die Federkraft −k(r − L₀) zeigt zum Aufhängepunkt, die Gewichtskraft vertikal. Energie wandert zwischen potentieller Lageenergie, Federenergie und kinetischer Energie; die Bahnen ähneln oft Lissajous-Figuren, bei manchen Anfangsbedingungen wirkt das Bild unregelmäßig. Eine schwache Dämpfung lässt sich einschalten; Biegung der Feder und Stöße gegen die Aufhängung fehlen.

Für wen: Erstes Semester und Schwingungslehre: gekoppelte Freiheitsgrade, Hookesches Gesetz, Energieaustausch zwischen Moden.

Wichtige Begriffe

Hookesches Gesetz
elastisches Pendel
gekoppelte Schwingungen
Lissajous-Figuren
Anfangsbedingungen

So funktioniert es

Masse an einer masselosen Feder in der vertikalen Ebene: mẍ = −k(r − L₀)x/r − cẋ, mÿ = −k(r − L₀)y/r + mg − cẏ (y-Achse nach unten). Radialer und Winkel-Freiheitsgrad sind gekoppelt, daher ist die Spur weder Ellipse noch Kreis. Die Graphen r(t) und θ(t) zeigen den Austausch zwischen den Moden. Bei schwacher Dämpfung bleibt die mechanische Gesamtenergie fast erhalten.

Wichtige Gleichungen

mẍ = −k(r − L₀)x/r − cẋ, mÿ = −k(r − L₀)y/r + mg − cẏ, r = √(x² + y²)

U = ½k(r − L₀)² − mgy (y nach unten vom Aufhängepunkt); das „Chaos“ ist empfindlich gegen die Anfangsbedingungen, nicht gegen das Rauschen des Integrators.

Häufige Fragen

Warum ist die Spur der Masse so verworren, obwohl nur zwei Kräfte wirken?: Schwingen und Dehnen sind verschiedene Freiheitsgrade, und sie sind gekoppelt: beim Auslenken ändert sich die Länge, beim Dehnen das Moment der Gewichtskraft. Ein konservatives System muss nicht im strengen Sinn chaotisch sein, aber die Bahnen sind sehr empfindlich gegen die Anfangsbedingungen und wirken unregelmäßig.
Worin unterscheidet sich das vom mathematischen Pendel?: Beim mathematischen Pendel ist die Fadenlänge fest, es bleibt ein Winkel. Hier dehnt sich die Feder, es kommt die Radialkoordinate r hinzu, und die beiden Moden tauschen Energie.
Bleibt die mechanische Energie erhalten?: Bei verschwindender Dämpfung ja: die Summe aus kinetischer, Feder- und potentieller Lageenergie ist konstant. Schwache Dämpfung führt die Energie langsam ab; im Graphen der gesamten E sieht man das.

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