Pourquoi deux masses n’ont-elles que deux modes propres ?

Autant que de degrés de liberté : deux masses, chacune le long d’un axe. Tout autre mouvement est une combinaison linéaire des modes symétrique et antisymétrique.

Qu’est-ce que les battements ?

De lents transferts d’énergie, lorsque deux modes de pulsations proches sont excités ensemble. Si vous écartez une masse et laissez l’autre au repos, les deux modes sont présents ; la pulsation des battements vaut |ωₐ − ωₛ|.

Comment n’exciter qu’un seul mode ?

Écartez les deux masses de la même façon : le ressort central ne travaille pas, il reste ωₛ. Écartez-les l’une vers l’autre de la même quantité : c’est surtout ωₐ. Les cas du panneau posent précisément ces conditions initiales.

Où trouve-t-on encore des oscillateurs couplés ?

Deux pendules reliés par un ressort, atomes d’un réseau, circuits oscillants couplés, liaisons d’une molécule. Les modes propres sont le langage commun de ces systèmes.

Oscillateurs couplés

Deux masses et trois ressorts : modes propres ωₛ, ωₐ et battements.

Graphiques

À propos du modèle

Oscillateurs couplés : deux masses identiques entre deux ressorts extérieurs de raideur k et un ressort central de raideur K. Les équations : mẍ₁ = −k x₁ − K(x₁ − x₂), mẍ₂ = −k x₂ − K(x₂ − x₁). Le mouvement se décompose en modes propres : le mode symétrique (les masses ensemble, le ressort central non déformé) de pulsation ωₛ = √(k/m), et le mode antisymétrique (l’une vers l’autre) de pulsation ωₐ = √((k + 2K)/m). Si les trois ressorts sont identiques (K = k), on retrouve ωₐ = √(3k/m). Un départ quelconque est une superposition des modes ; lorsque les pulsations sont proches, on voit des battements : l’énergie passe lentement d’une masse à l’autre. Les ressorts sont de Hooke, il n’y a pas d’amortissement, le mouvement est unidimensionnel.

Public : Terminale approfondie et L1 : modes propres, battements, oscillateurs couplés à deux masses.

Notions clés

oscillateurs couplés
modes propres
battements
loi de Hooke
mode symétrique
mode antisymétrique
superposition

Comment ça marche

Deux masses identiques entre des ressorts extérieurs de raideur k, liées par un ressort central K. Pulsations propres : ωₛ = √(k/m) (masses ensemble) et ωₐ = √((k + 2K)/m) (l’une vers l’autre). Un départ quelconque superpose les modes ; sur les graphes x₁(t) et x₂(t) apparaissent les battements.

Formules

mẍ₁ = −k x₁ − K(x₁ − x₂) · mẍ₂ = −k x₂ − K(x₂ − x₁)

ωₛ = √(k/m) · ωₐ = √((k + 2K)/m)

Questions fréquentes

Pourquoi deux masses n’ont-elles que deux modes propres ?: Autant que de degrés de liberté : deux masses, chacune le long d’un axe. Tout autre mouvement est une combinaison linéaire des modes symétrique et antisymétrique.
Qu’est-ce que les battements ?: De lents transferts d’énergie, lorsque deux modes de pulsations proches sont excités ensemble. Si vous écartez une masse et laissez l’autre au repos, les deux modes sont présents ; la pulsation des battements vaut |ωₐ − ωₛ|.
Comment n’exciter qu’un seul mode ?: Écartez les deux masses de la même façon : le ressort central ne travaille pas, il reste ωₛ. Écartez-les l’une vers l’autre de la même quantité : c’est surtout ωₐ. Les cas du panneau posent précisément ces conditions initiales.
Où trouve-t-on encore des oscillateurs couplés ?: Deux pendules reliés par un ressort, atomes d’un réseau, circuits oscillants couplés, liaisons d’une molécule. Les modes propres sont le langage commun de ces systèmes.

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