Por que o rastro da massa é tão emaranhado se só há duas forças?

O balanço e o alongamento são graus de liberdade distintos e estão acoplados: ao desviar muda o comprimento; ao alongar, o momento do peso. Um sistema conservativo pode não ser caótico no sentido estrito, mas as trajetórias são muito sensíveis às condições iniciais e parecem irregulares.

Em que isso difere do pêndulo simples?

No pêndulo simples o comprimento do fio é fixo e resta um só ângulo. Aqui a mola se alonga, aparece a coordenada radial r e os dois modos trocam energia.

A energia mecânica se conserva?

Com amortecimento nulo, sim: a soma da cinética, da elástica e da potencial gravitacional é constante. Um amortecimento fraco leva a energia aos poucos; no gráfico isso aparece na E total.

Pêndulo elástico

Pêndulo elástico no plano: o balanço e o alongamento da mola estão acoplados; a energia passa de um modo ao outro. Casos com trajetória quase irregular.

Gráficos

Sobre o modelo

O pêndulo elástico é uma massa pontual numa mola de Hooke de comprimento natural L₀, suspensa no plano vertical. Há dois graus de liberdade acoplados: o balanço e o alongamento. A força elástica −k(r − L₀) aponta para o ponto de suspensão; o peso, na vertical. A energia passa entre a potencial gravitacional, a elástica e a cinética; as trajetórias muitas vezes lembram figuras de Lissajous e, com certas condições iniciais, o desenho parece irregular. Pode-se ligar um amortecimento fraco; não se modelam a flexão da mola nem os choques contra o suporte.

Para quem: Primeiro período e teoria das oscilações: graus de liberdade acoplados, lei de Hooke, troca de energia entre modos.

Conceitos-chave

lei de Hooke
pêndulo elástico
oscilações acopladas
figuras de Lissajous
condições iniciais

Como funciona

Massa numa mola sem peso, no plano vertical: mẍ = −k(r − L₀)x/r − cẋ, mÿ = −k(r − L₀)y/r + mg − cẏ (eixo y para baixo). Os graus radial e angular estão acoplados, por isso o rastro não é elipse nem circunferência. Os gráficos r(t) e θ(t) mostram a troca entre modos. Com amortecimento fraco, a energia mecânica total quase se conserva.

Fórmulas principais

mẍ = −k(r − L₀)x/r − cẋ, mÿ = −k(r − L₀)y/r + mg − cẏ, r = √(x² + y²)

U = ½k(r − L₀)² − mgy (y para baixo a partir da fixação); o «caos» é sensível às condições iniciais, não ao ruído do integrador.

Perguntas frequentes

Por que o rastro da massa é tão emaranhado se só há duas forças?: O balanço e o alongamento são graus de liberdade distintos e estão acoplados: ao desviar muda o comprimento; ao alongar, o momento do peso. Um sistema conservativo pode não ser caótico no sentido estrito, mas as trajetórias são muito sensíveis às condições iniciais e parecem irregulares.
Em que isso difere do pêndulo simples?: No pêndulo simples o comprimento do fio é fixo e resta um só ângulo. Aqui a mola se alonga, aparece a coordenada radial r e os dois modos trocam energia.
A energia mecânica se conserva?: Com amortecimento nulo, sim: a soma da cinética, da elástica e da potencial gravitacional é constante. Um amortecimento fraco leva a energia aos poucos; no gráfico isso aparece na E total.

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