¿Por qué la traza de la masa es tan enredada si solo hay dos fuerzas?

El balanceo y el estiramiento son grados de libertad distintos y están acoplados: al desviarse cambia la longitud; al estirarse, el momento del peso. Un sistema conservativo puede no ser caótico en sentido estricto, pero las trayectorias son muy sensibles a las condiciones iniciales y se ven irregulares.

¿En qué se diferencia del péndulo simple?

En el péndulo simple la longitud del hilo está fija y queda un solo ángulo. Aquí el resorte se estira, aparece la coordenada radial r y los dos modos intercambian energía.

¿Se conserva la energía mecánica?

Con amortiguamiento nulo, sí: la suma de cinética, elástica y potencial gravitatoria es constante. Un amortiguamiento débil se lleva la energía poco a poco; en la gráfica se ve en la E total.

Péndulo elástico

Péndulo elástico en el plano: el balanceo y el estiramiento del resorte están acoplados; la energía pasa de un modo al otro. Casos con trayectoria casi irregular.

Gráficas

Sobre el modelo

El péndulo elástico es una masa puntual en un resorte de Hooke de longitud natural L₀, colgada en el plano vertical. Hay dos grados de libertad acoplados: el balanceo y el estiramiento. La fuerza elástica −k(r − L₀) apunta al punto de suspensión; el peso, en vertical. La energía pasa entre la potencial gravitatoria, la elástica y la cinética; las trayectorias a menudo recuerdan figuras de Lissajous y, con ciertas condiciones iniciales, la figura se ve irregular. Se puede encender un amortiguamiento débil; no se modelan la flexión del resorte ni los golpes contra el soporte.

Para quién: Primer curso y teoría de oscilaciones: grados de libertad acoplados, ley de Hooke, intercambio de energía entre modos.

Conceptos clave

ley de Hooke
péndulo elástico
oscilaciones acopladas
figuras de Lissajous
condiciones iniciales

Cómo funciona

Masa en un resorte sin peso, en el plano vertical: mẍ = −k(r − L₀)x/r − cẋ, mÿ = −k(r − L₀)y/r + mg − cẏ (eje y hacia abajo). Los grados radial y angular están acoplados, así que la traza no es elipse ni circunferencia. Las gráficas r(t) y θ(t) muestran el intercambio entre modos. Con amortiguamiento débil, la energía mecánica total casi se conserva.

Fórmulas principales

mẍ = −k(r − L₀)x/r − cẋ, mÿ = −k(r − L₀)y/r + mg − cẏ, r = √(x² + y²)

U = ½k(r − L₀)² − mgy (y hacia abajo desde el anclaje); el «caos» es sensible a las condiciones iniciales, no al ruido del integrador.

Preguntas frecuentes

¿Por qué la traza de la masa es tan enredada si solo hay dos fuerzas?: El balanceo y el estiramiento son grados de libertad distintos y están acoplados: al desviarse cambia la longitud; al estirarse, el momento del peso. Un sistema conservativo puede no ser caótico en sentido estricto, pero las trayectorias son muy sensibles a las condiciones iniciales y se ven irregulares.
¿En qué se diferencia del péndulo simple?: En el péndulo simple la longitud del hilo está fija y queda un solo ángulo. Aquí el resorte se estira, aparece la coordenada radial r y los dos modos intercambian energía.
¿Se conserva la energía mecánica?: Con amortiguamiento nulo, sí: la suma de cinética, elástica y potencial gravitatoria es constante. Un amortiguamiento débil se lleva la energía poco a poco; en la gráfica se ve en la E total.

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