Pourquoi une grande raideur de couplage κ accélère-t-elle l’onde ?

κ est la raideur du ressort entre les angles voisins. En régime linéaire, les pulsations des modes propres et la vitesse apparente du paquet en dépendent : plus κ est grand, plus l’onde va vite.

Quelles sont les conditions aux limites aux extrémités de la chaîne ?

Dans le laplacien discret, au-delà des pendules extrêmes, on place des voisins fictifs θ = 0. Pour le terme de couplage, c’est proche d’extrémités fixées : l’onde se réfléchit.

Coupled pendulum chain

N pendules avec des ressorts entre voisins selon l’angle θ : onde après une impulsion au centre, puis réflexions aux extrémités.

À propos du modèle

Une chaîne de pendules couplés se comporte comme un milieu élastique discret : une impulsion au milieu part en onde et se réfléchit aux extrémités. Les équations θ̈ᵢ = −(g/L) sin θᵢ + κ(θᵢ₋₁ − 2θᵢ + θᵢ₊₁) sont intégrées avec un léger amortissement, pour que le mouvement reste lisible. Aux petits angles, on peut parler de modes propres ; le sin θ non linéaire laisse les grandes impulsions intéressantes.

Public : Licence : oscillations couplées et ondes sur un réseau ; analogie avec le berceau de Newton.

Notions clés

pendules couplés
modes propres
équation d’onde discrète
vitesse de groupe
réflexion d’une onde

Comment ça marche

Des pendules identiques sont couplés par des ressorts selon l’angle. La perturbation part du centre en onde et se réfléchit aux extrémités. Aux petits angles, le mouvement est proche des modes propres ; aux grandes amplitudes, c’est le sin θ non linéaire qui gouverne.

Questions fréquentes

Pourquoi une grande raideur de couplage κ accélère-t-elle l’onde ?: κ est la raideur du ressort entre les angles voisins. En régime linéaire, les pulsations des modes propres et la vitesse apparente du paquet en dépendent : plus κ est grand, plus l’onde va vite.
Quelles sont les conditions aux limites aux extrémités de la chaîne ?: Dans le laplacien discret, au-delà des pendules extrêmes, on place des voisins fictifs θ = 0. Pour le terme de couplage, c’est proche d’extrémités fixées : l’onde se réfléchit.

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