Почему при той же скорости центра у катящегося диска полная энергия больше?

Есть ещё вращательная часть ½Iω². При v = ωR она равна ½I(v/R)². У скользящего диска ω = 0, остаётся только ½mv².

Почему у обруча вращательная энергия больше, чем у диска, при тех же m, R и v?

I_обруча = mR², I_диска = ½mR². При одинаковом ω = v/R у обруча ½Iω² вдвое больше: масса дальше от оси.

Совершает ли трение работу при качении без проскальзывания?

При чистом качении точка контакта не скользит, трение покоя работы не совершает. Оно лишь связывает v и ω. Потери появились бы при проскальзывании.

Что значит отношение |v| / (|ω|R) = 1?

Это условие отсутствия проскальзывания: мгновенная скорость точки контакта равна нулю. Если отношение не единица, в точке контакта есть скольжение.

Качение и скольжение диска

Качение без проскальзывания v = ωR и чистое скольжение. Поступательная и вращательная кинетическая энергия; диск I = ½mR² и обруч I = mR².

Диск на горизонтальной дорожке (идеал, без потерь)

Движение

Модель сечения

Масса m2 kg

Радиус R0.25 m

Скорость ЦМ |v_cm|2.2 m/s

При той же v_cm у качения лишняя энергия во вращении. У кольца вдвое больший момент инерции, чем у сплошного диска при тех же m, R, поэтому K_вращ больше при той же скорости.

Горячие клавиши

Пробел или Enter — старт / перезапуск
R — стоп и очистка графиков

Измеренные величины

ω8.8000rad/s

K_пост = ½mv²4.840J

K_вращ = ½Iω²2.420J

K_полн7.260J

|v_cm| / (|ω| R) (без проскальз. → 1)1.0000

Графики

О модели

Диск или тонкое кольцо движется по горизонтальной дорожке. При качении без проскальзывания точка контакта мгновенно покоится, поэтому v = ωR. Кинетическая энергия складывается из поступательной и вращательной: K = ½mv² + ½Iω²; у сплошного диска I = ½mR², у обруча I = mR². При той же скорости центра масс у катящегося тела полная энергия больше, чем у скользящего (ω = 0): часть энергии приходится на вращение. У обруча эта доля больше, чем у диска. Можно выбрать качение или скольжение, форму сечения, массу, радиус и скорость центра. Тела абсолютно твёрдые, потерь нет: трение либо обеспечивает связь v = ωR и работы не совершает, либо отсутствует.

Для кого: Школа и первый курс: качение, момент инерции, кинетическая энергия вращения.

Ключевые понятия

момент инерции
кинетическая энергия вращения
поступательная кинетическая энергия
качение без проскальзывания
условие v = ωR
диск
обруч

Как это работает

Колесо на горизонтальной дорожке: при качении без проскальзывания точка контакта мгновенно покоится, v = ωR. Поступательная и вращательная кинетические энергии складываются; потерь нет, полная механическая энергия постоянна. При том же v центра у скольжения вращения нет — вся энергия поступательная; у качения полная энергия больше.

Основные формулы

Без проскальз.: v_cm = ω R · K = ½ m v² + ½ I ω²

Диск: I = ½ m R² · Кольцо: I = m R² · Скольжение: ω = 0 → K = ½ m v²

Часто задаваемые вопросы

Почему при той же скорости центра у катящегося диска полная энергия больше?: Есть ещё вращательная часть ½Iω². При v = ωR она равна ½I(v/R)². У скользящего диска ω = 0, остаётся только ½mv².
Почему у обруча вращательная энергия больше, чем у диска, при тех же m, R и v?: I_обруча = mR², I_диска = ½mR². При одинаковом ω = v/R у обруча ½Iω² вдвое больше: масса дальше от оси.
Совершает ли трение работу при качении без проскальзывания?: При чистом качении точка контакта не скользит, трение покоя работы не совершает. Оно лишь связывает v и ω. Потери появились бы при проскальзывании.
Что значит отношение |v| / (|ω|R) = 1?: Это условие отсутствия проскальзывания: мгновенная скорость точки контакта равна нулю. Если отношение не единица, в точке контакта есть скольжение.

Продолжите с близкими темами в этой категории — или все 85 в «Классическая механика».

Вся категория →

НовоеШкольные