Pourquoi le gyroscope ne tombe-t-il pas ? Le poids le tire vers le bas.

Le poids produit un moment, mais le rotor rapide a déjà un grand L le long de l’axe. Le moment change la direction de L et ne renverse pas l’axe : on obtient la précession. La composante verticale du moment du poids est nulle, donc la projection verticale de L se conserve.

Comment la vitesse de rotation est-elle liée à celle de précession ?

Ω ≈ mgd/(Iω) : plus la rotation propre est rapide, plus la précession est lente. Un grand L est plus difficile à faire tourner. Si ω est trop petite, l’approximation Ω ≪ ω cesse d’être valable : apparaissent nutation et culbute.

Où voit-on la précession gyroscopique ?

Centrale à inertie, stabilité de la moto, volants d’orientation d’un satellite, indicateur de cap. Le même principe est la précession de l’axe terrestre, de période d’environ 26 000 ans.

Qu’est-ce que la nutation et pourquoi n’est-elle pas là ?

La nutation, ce sont des hochements rapides de l’axe superposés à la précession établie, en général dans le régime transitoire. Ici on ne garde que la précession uniforme Ω = τ/L, sans frottement ni hochements, pour que l’on voie τ = dL/dt.

Précession d’un gyroscope

Moment du poids τ = mgd et moment cinétique propre L = Iω. Précession établie Ω ≈ τ/L ; schéma sans nutation.

Graphiques

À propos du modèle

La précession d’un gyroscope est le mouvement lent de l’axe autour de la verticale : le rotor, appuyé à une extrémité, ne tombe pas. Le moment du poids τ = mgd est perpendiculaire au moment cinétique L = Iω, donc c’est la direction de L qui change, pas le module : τ = dL/dt. La vitesse angulaire de précession est Ω ≈ mgd/(Iω) lorsque Ω ≪ ω. On peut faire varier la masse, le bras d, le moment d’inertie, la vitesse de rotation et g. Il n’y a ni nutation, ni frottement, ni variation de ω ; le corps est parfaitement rigide.

Public : Licence et lycée approfondi : moment cinétique, moment d’une force, gyroscope.

Notions clés

moment cinétique
moment d’une force
précession
gyroscope
moment d’inertie
nutation

Comment ça marche

Le rotor en rotation a un moment cinétique L le long de l’axe. Le poids donne un moment τ par rapport à l’appui, perpendiculaire à L : la direction de L change, pas le module, et l’axe décrit un cône. On prend l’estimation de précession établie Ω = τ/L avec τ = mgd, sans nutation ni frottement.

Formules

τ = m g d · L = I ω_spin · Ω ≈ τ / L

dL/dt = τ (⊥ L ⇒ |L| ≈ const, la direction précesse)

Questions fréquentes

Pourquoi le gyroscope ne tombe-t-il pas ? Le poids le tire vers le bas.: Le poids produit un moment, mais le rotor rapide a déjà un grand L le long de l’axe. Le moment change la direction de L et ne renverse pas l’axe : on obtient la précession. La composante verticale du moment du poids est nulle, donc la projection verticale de L se conserve.
Comment la vitesse de rotation est-elle liée à celle de précession ?: Ω ≈ mgd/(Iω) : plus la rotation propre est rapide, plus la précession est lente. Un grand L est plus difficile à faire tourner. Si ω est trop petite, l’approximation Ω ≪ ω cesse d’être valable : apparaissent nutation et culbute.
Où voit-on la précession gyroscopique ?: Centrale à inertie, stabilité de la moto, volants d’orientation d’un satellite, indicateur de cap. Le même principe est la précession de l’axe terrestre, de période d’environ 26 000 ans.
Qu’est-ce que la nutation et pourquoi n’est-elle pas là ?: La nutation, ce sont des hochements rapides de l’axe superposés à la précession établie, en général dans le régime transitoire. Ici on ne garde que la précession uniforme Ω = τ/L, sans frottement ni hochements, pour que l’on voie τ = dL/dt.

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