Por que, à mesma velocidade do centro, o disco que rola tem mais energia total?

Porque ainda há a parte de rotação ½Iω². Com v = ωR ela vale ½I(v/R)². No disco que desliza ω = 0 e fica só ½mv².

Por que o aro tem mais energia de rotação que o disco, com os mesmos m, R e v?

I_aro = mR² e I_disco = ½mR². Com o mesmo ω = v/R, ½Iω² do aro é o dobro: a massa está mais longe do eixo.

O atrito realiza trabalho no rolamento sem deslizamento?

No rolamento puro o ponto de contato não escorrega; o atrito estático não realiza trabalho. Ele só liga v e ω. As perdas apareceriam se houvesse deslizamento.

O que significa a razão |v| / (|ω|R) = 1?

É a condição de ausência de deslizamento: a velocidade instantânea do ponto de contato é zero. Se a razão não for 1, no contato há deslizamento.

Rolamento e deslizamento de um disco

Rolamento sem deslizamento v = ωR e deslizamento puro. Energia cinética de translação e de rotação; disco I = ½mR² e aro I = mR².

Gráficos

Sobre o modelo

O rolamento e o deslizamento de um disco (ou de um anel fino) se comparam numa pista horizontal. No rolamento sem deslizamento o ponto de contato está instantaneamente em repouso, de modo que v = ωR. A energia cinética é a soma da de translação e da de rotação: K = ½mv² + ½Iω²; no disco maciço I = ½mR² e no aro I = mR². À mesma velocidade do centro de massa, o corpo que rola tem mais energia total que o que só desliza (ω = 0): parte da energia está na rotação. No aro essa fração é maior que no disco. Escolhem-se rolamento ou deslizamento, a forma da seção, a massa, o raio e a velocidade do centro. Os corpos são rígidos e não há perdas: o atrito ou impõe a ligação v = ωR e não realiza trabalho, ou está ausente.

Para quem: Ensino médio e início da graduação: rolamento, momento de inércia, energia cinética de rotação.

Conceitos-chave

momento de inércia
energia cinética de rotação
energia cinética de translação
rolamento sem deslizamento
condição v = ωR
disco
aro

Como funciona

Uma roda numa pista horizontal: no rolamento sem deslizamento o ponto de contato está instantaneamente em repouso, v = ωR. Somam-se as energias cinéticas de translação e de rotação; não há perdas e a energia mecânica total é constante. À mesma v do centro, no deslizamento não há rotação — toda a energia é de translação; no rolamento a energia total é maior.

Fórmulas principais

Sem desliz.: v_cm = ω R · K = ½ m v² + ½ I ω²

Disco: I = ½ m R² · Anel: I = m R² · Deslizamento: ω = 0 → K = ½ m v²

Perguntas frequentes

Por que, à mesma velocidade do centro, o disco que rola tem mais energia total?: Porque ainda há a parte de rotação ½Iω². Com v = ωR ela vale ½I(v/R)². No disco que desliza ω = 0 e fica só ½mv².
Por que o aro tem mais energia de rotação que o disco, com os mesmos m, R e v?: I_aro = mR² e I_disco = ½mR². Com o mesmo ω = v/R, ½Iω² do aro é o dobro: a massa está mais longe do eixo.
O atrito realiza trabalho no rolamento sem deslizamento?: No rolamento puro o ponto de contato não escorrega; o atrito estático não realiza trabalho. Ele só liga v e ω. As perdas apareceriam se houvesse deslizamento.
O que significa a razão |v| / (|ω|R) = 1?: É a condição de ausência de deslizamento: a velocidade instantânea do ponto de contato é zero. Se a razão não for 1, no contato há deslizamento.

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