Warum ist die Gesamtenergie einer rollenden Scheibe bei gleicher Schwerpunktgeschwindigkeit größer?

Es kommt noch der Rotationsanteil ½Iω² hinzu. Bei v = ωR ist er gleich ½I(v/R)². Beim gleitenden Körper ist ω = 0, es bleibt nur ½mv².

Warum ist die Rotationsenergie beim Ring größer als bei der Scheibe — bei gleichen m, R und v?

I_Ring = mR², I_Scheibe = ½mR². Bei gleichem ω = v/R ist ½Iω² beim Ring doppelt so groß: die Masse liegt weiter von der Achse.

Verrichtet die Reibung beim Rollen ohne Gleiten Arbeit?

Beim reinen Rollen gleitet der Berührpunkt nicht; die Haftreibung verrichtet keine Arbeit. Sie koppelt nur v und ω. Verluste entstünden erst beim Gleiten in der Kontaktfläche.

Was bedeutet das Verhältnis |v| / (|ω|R) = 1?

Das ist die Bedingung für Rollen ohne Gleiten: die Momentangeschwindigkeit des Berührpunkts ist null. Weicht das Verhältnis von eins ab, gleitet die Kontaktstelle.

Rollen und Gleiten einer Scheibe

Rollen ohne Gleiten v = ωR und reines Gleiten. Kinetische Energie der Translation und der Rotation; Scheibe I = ½mR² und Ring I = mR².

Diagramme

Zum Modell

Beim Rollen und Gleiten einer Scheibe oder eines dünnen Rings auf einer waagerechten Bahn ruht der Berührpunkt beim reinen Rollen augenblicklich, daher gilt v = ωR. Die kinetische Energie setzt sich aus Translation und Rotation zusammen: K = ½mv² + ½Iω²; beim Vollzylinder (Scheibe) ist I = ½mR², beim Ring I = mR². Bei gleicher Schwerpunktgeschwindigkeit ist die Gesamtenergie des rollenden Körpers größer als die des gleitenden (ω = 0): ein Teil steckt in der Drehung. Beim Ring ist dieser Anteil größer als bei der Scheibe. Man wählt Rollen oder Gleiten, die Querschnittsform, Masse, Radius und Schwerpunktgeschwindigkeit. Die Körper sind starr, Verluste gibt es nicht: die Reibung erzwingt entweder die Bindung v = ωR und verrichtet keine Arbeit, oder sie fehlt ganz.

Für wen: Schule und 1. Semester: Rollen, Trägheitsmoment, Rotationsenergie.

Wichtige Begriffe

trägheitsmoment
rotationsenergie
translationsenergie
rollen ohne gleiten
bedingung v = ωR
scheibe
dünner ring

So funktioniert es

Ein Rad auf waagerechter Bahn: beim Rollen ohne Gleiten ruht der Berührpunkt augenblicklich, v = ωR. Translations- und Rotationsenergie addieren sich; ohne Verluste bleibt die mechanische Gesamtenergie konstant. Bei gleichem v des Schwerpunkts gibt es beim Gleiten keine Drehung — die ganze Energie ist translatorisch; beim Rollen ist die Gesamtenergie größer.

Wichtige Gleichungen

Ohne Gleiten: v_cm = ω R · K = ½ m v² + ½ I ω²

Scheibe: I = ½ m R² · Ring: I = m R² · Gleiten: ω = 0 → K = ½ m v²

Häufige Fragen

Warum ist die Gesamtenergie einer rollenden Scheibe bei gleicher Schwerpunktgeschwindigkeit größer?: Es kommt noch der Rotationsanteil ½Iω² hinzu. Bei v = ωR ist er gleich ½I(v/R)². Beim gleitenden Körper ist ω = 0, es bleibt nur ½mv².
Warum ist die Rotationsenergie beim Ring größer als bei der Scheibe — bei gleichen m, R und v?: I_Ring = mR², I_Scheibe = ½mR². Bei gleichem ω = v/R ist ½Iω² beim Ring doppelt so groß: die Masse liegt weiter von der Achse.
Verrichtet die Reibung beim Rollen ohne Gleiten Arbeit?: Beim reinen Rollen gleitet der Berührpunkt nicht; die Haftreibung verrichtet keine Arbeit. Sie koppelt nur v und ω. Verluste entstünden erst beim Gleiten in der Kontaktfläche.
Was bedeutet das Verhältnis |v| / (|ω|R) = 1?: Das ist die Bedingung für Rollen ohne Gleiten: die Momentangeschwindigkeit des Berührpunkts ist null. Weicht das Verhältnis von eins ab, gleitet die Kontaktstelle.

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