Pourquoi la fusée continue-t-elle à monter après l’arrêt du moteur ? Sans poussée, ne tombe-t-elle pas tout de suite ?

Après la coupure, il n’y a plus d’accélération vers le haut : seule la pesanteur agit, et la vitesse diminue. Mais la vitesse déjà acquise porte encore la fusée vers le haut, jusqu’à s’annuler au sommet. Une poussée constante sert à accélérer, pas à « tenir » une vitesse déjà là.

Qu’est-ce que Δv, et pourquoi s’en sert-on en astronautique ?

La vitesse caractéristique Δv est la réserve de variation de vitesse que donne le moteur. D’après Tsiolkovski, elle ne dépend que de la vitesse d’éjection et du rapport des masses, pas de la vitesse à laquelle on brûle le propergol. On juge sur Δv si l’étage suffit pour l’orbite ou pour une manœuvre.

En quoi le modèle diffère-t-il d’un vrai décollage ?

Pas de résistance de l’air, g ne diminue pas avec l’altitude, débit et vitesse d’éjection constants, un seul étage. On isole ainsi la masse variable et la comparaison du Δv idéal au vol dans un champ de pesanteur constant.

Pourquoi le débit massique ṁ s’écrit-il parfois avec un signe moins ?

ṁ = dm/dt est la vitesse de variation de la masse de la fusée ; le propergol part, donc dm/dt < 0. On écrit commodément la poussée T = |ṁ| u, opposée au jet. Par la troisième loi de Newton, la quantité de mouvement emportée par le gaz vers l’arrière donne une quantité de mouvement au corps vers l’avant.

Propulsion d’une fusée

Fusée à masse variable : poussée ṁu, formule de Tsiolkovski Δv = u ln(m₀/m_f), décollage vertical avec la pesanteur.

Graphiques

À propos du modèle

Propulsion d’une fusée : système à masse variable. Le propergol emporte de la quantité de mouvement vers l’arrière, le corps subit une poussée T = ṁ u. Vol vertical : m(t) dv/dt = ṁ u − m(t) g. Sans pesanteur, l’intégration donne la formule de Tsiolkovski Δv = u ln(m₀/m_f). On peut faire varier la masse au décollage et la masse à vide, le débit, la vitesse d’éjection et g. Sur les graphes : v(t), l’altitude et m(t). Simplifications : g, ṁ et u constants, pas de résistance de l’air, un seul étage, vol strictement vers le haut.

Public : L1 : masse variable, formule de Tsiolkovski, deuxième loi de Newton.

Notions clés

formule de Tsiolkovski
système à masse variable
vitesse d’éjection
poussée
débit massique
conservation de la quantité de mouvement
vitesse caractéristique

Comment ça marche

La fusée perd de la masse en éjectant un jet vers l’arrière à la vitesse u par rapport au corps. La quantité de mouvement emportée donne la poussée T = ṁ u. On intègre le mouvement vertical dans un champ g constant ; le Δv idéal de Tsiolkovski se compare à la vitesse avec pesanteur et durée de combustion.

Formules

T = ṁ u · m dv/dt = T − m g (1D, haut +)

Δv = u ln(m₀ / m_f) (sans g, tout le propergol brûlé)

Questions fréquentes

Pourquoi la fusée continue-t-elle à monter après l’arrêt du moteur ? Sans poussée, ne tombe-t-elle pas tout de suite ?: Après la coupure, il n’y a plus d’accélération vers le haut : seule la pesanteur agit, et la vitesse diminue. Mais la vitesse déjà acquise porte encore la fusée vers le haut, jusqu’à s’annuler au sommet. Une poussée constante sert à accélérer, pas à « tenir » une vitesse déjà là.
Qu’est-ce que Δv, et pourquoi s’en sert-on en astronautique ?: La vitesse caractéristique Δv est la réserve de variation de vitesse que donne le moteur. D’après Tsiolkovski, elle ne dépend que de la vitesse d’éjection et du rapport des masses, pas de la vitesse à laquelle on brûle le propergol. On juge sur Δv si l’étage suffit pour l’orbite ou pour une manœuvre.
En quoi le modèle diffère-t-il d’un vrai décollage ?: Pas de résistance de l’air, g ne diminue pas avec l’altitude, débit et vitesse d’éjection constants, un seul étage. On isole ainsi la masse variable et la comparaison du Δv idéal au vol dans un champ de pesanteur constant.
Pourquoi le débit massique ṁ s’écrit-il parfois avec un signe moins ?: ṁ = dm/dt est la vitesse de variation de la masse de la fusée ; le propergol part, donc dm/dt < 0. On écrit commodément la poussée T = |ṁ| u, opposée au jet. Par la troisième loi de Newton, la quantité de mouvement emportée par le gaz vers l’arrière donne une quantité de mouvement au corps vers l’avant.

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