Pourquoi, si l’on ferme le robinet d’un coup, le saut de pression est-il plus grand qu’à fermeture lente ?

D’après Joukowsky, ΔP = ρ a ΔV. Une fermeture rapide donne un ΔV presque instantané et le saut complet. Si l’on ferme lentement, les ondes réfléchies ont le temps de décharger la conduite : le pic reste nettement sous celui d’un arrêt instantané.

De quoi dépend la célérité a dans la conduite ?

De la compressibilité du liquide et de l’élasticité des parois. Pour une conduite rigide, a ≈ √(K/ρ), où K est le module d’incompressibilité. Des parois élastiques se dilatent et abaissent a. Ici a est prise constante.

Ce schéma décrit-il la rupture d’une conduite ?

Non. Les bords sont une vanne fermée et un réservoir ouvert ; les équations sont linéaires. La rupture est une condition non linéaire, une onde de détente et de fortes pertes : c’est un autre problème, même si le caractère ondulatoire reste le même.

D’où vient le claquement dans les tuyaux quand on ferme le robinet d’un coup ?

La colonne d’eau s’arrête et un saut de pression (coup de bélier) parcourt la conduite. Les parois et la robinetterie vibrent : c’est le choc audible. La formule de Joukowsky donne l’ordre de grandeur de ΔP.

Coup de bélier

Arrêt brusque d’un écoulement dans une conduite : onde de pression, formule de Joukowsky ΔP ≈ ρ a V.

À propos du modèle

Le coup de bélier est un régime transitoire : la fermeture rapide d’une vanne engendre une onde de pression qui parcourt la conduite. Pour de petites perturbations, la pression obéit à l’équation des ondes ∂²P/∂t² = a² ∂²P/∂x², où a est la célérité. Le saut à l’arrêt instantané est donné par la formule de Joukowsky ΔP = ρ a ΔV. Une extrémité fermée réfléchit l’onde de pression sans changer de signe ; un réservoir ouvert, en changeant de signe. La paroi est prise rigide (a constante), l’écoulement est unidimensionnel ; les pertes et la cavitation ne sont pas prises en compte.

Public : Hydraulique de L1–L2 : régimes transitoires dans les conduites, ondes dans un liquide.

Notions clés

coup de bélier
formule de Joukowsky
célérité de l’onde
réflexion d’onde
régime transitoire
compressibilité du liquide

Comment ça marche

Système linéaire unidimensionnel : ∂P/∂t + ρ a² ∂V/∂x = 0 et ∂V/∂t + (1/ρ) ∂P/∂x = 0. À droite, la pression du réservoir ; à gauche la vanne se ferme d’un coup : un saut parcourt la conduite. L’estimation de Joukowsky ΔP ≈ ρ a V donne l’ordre de grandeur si l’arrêt est instantané. Le calcul n’inclut ni les pertes ni l’élasticité des parois.

Formules

ΔP ≈ ρ a ΔV (vanne instantanée) · onde 1D linéaire sur un réseau

Questions fréquentes

Pourquoi, si l’on ferme le robinet d’un coup, le saut de pression est-il plus grand qu’à fermeture lente ?: D’après Joukowsky, ΔP = ρ a ΔV. Une fermeture rapide donne un ΔV presque instantané et le saut complet. Si l’on ferme lentement, les ondes réfléchies ont le temps de décharger la conduite : le pic reste nettement sous celui d’un arrêt instantané.
De quoi dépend la célérité a dans la conduite ?: De la compressibilité du liquide et de l’élasticité des parois. Pour une conduite rigide, a ≈ √(K/ρ), où K est le module d’incompressibilité. Des parois élastiques se dilatent et abaissent a. Ici a est prise constante.
Ce schéma décrit-il la rupture d’une conduite ?: Non. Les bords sont une vanne fermée et un réservoir ouvert ; les équations sont linéaires. La rupture est une condition non linéaire, une onde de détente et de fortes pertes : c’est un autre problème, même si le caractère ondulatoire reste le même.
D’où vient le claquement dans les tuyaux quand on ferme le robinet d’un coup ?: La colonne d’eau s’arrête et un saut de pression (coup de bélier) parcourt la conduite. Les parois et la robinetterie vibrent : c’est le choc audible. La formule de Joukowsky donne l’ordre de grandeur de ΔP.

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