Pourquoi les pendules se traversent-ils parfois sans choc ?

Le choc n'est compté que si les billes se rapprochent le long de la ligne des centres (la vitesse relative normale est dirigée vers la rencontre) et se touchent presque. Si elles s'écartent ou glissent presque à la tangente, le modèle n'inclut pas le choc.

L'énergie se conserve-t-elle ?

Entre les chocs, oui (pas de frottement). Si e = 1, l'énergie cinétique du choc se conserve aussi. Une légère dérive sur un long calcul vient du pas d'intégration, pas de la physique.

En quoi cela diffère-t-il du berceau de Newton ?

Dans le berceau de Newton, les chocs vont le long d'une droite. Ici, la direction de la normale change avec les angles des pendules : les formules unidimensionnelles ne valent que le long de la ligne des centres instantanée ; le mouvement tangentiel ne change pas.

Qu'est-ce que θ̈ et à quoi sert-il ?

θ̈ est l'accélération angulaire : θ̈ = −(g/L) sin θ. Entre les chocs, elle fixe le va-et-vient ; le choc change d'un coup la vitesse angulaire et, avec elle, le mouvement qui suit.

Collision de pendules

Deux pendules simples : choc le long de la ligne des centres, coefficient de restitution e ; entre les chocs, l'équation θ̈.

Graphiques

À propos du modèle

Collision de deux pendules simples : des masses au bout de tiges de même longueur, points de suspension voisins. Entre les chocs, chaque masse est un pendule plan, θ̈ = −(g/L) sin θ. Au contact, les vitesses se décomposent selon la normale (ligne des centres) et la tangente : le long de la normale, choc unidimensionnel de coefficient de restitution e ; les composantes tangentielles ne changent pas. Si e = 1, l'énergie cinétique du choc se conserve. La quantité de mouvement horizontale du système de billes n'est pas strictement conservée : les attaches fournissent des forces extérieures ; sur le graphe, la somme des quantités de mouvement horizontales sert de contrôle qualitatif. Les billes sont des masses ponctuelles, les tiges sans masse, les axes sans frottement, le choc instantané.

Public : Terminale et L1 : choc, lois de conservation, pendule simple.

Notions clés

choc élastique
conservation de la quantité de mouvement
pendule simple
coefficient de restitution
ligne des centres
énergie cinétique

Comment ça marche

Deux pendules de même longueur sont suspendus à des points voisins. Tant que les billes se touchent, on les traite comme des sphères lisses : les vitesses se décomposent le long de la ligne des centres (normale) et selon la tangente. Les composantes normales subissent un choc unidimensionnel de coefficient de restitution e (e = 1 : choc élastique) ; les tangentielles ne changent pas et la rotation des sphères n'est pas modélisée. Entre les chocs, chaque bille est un pendule simple dans le plan. Si e = 1, l'énergie cinétique du choc se conserve ; la quantité de mouvement horizontale, dans le problème bidimensionnel complet, n'est pas strictement conservée parce que les attaches appliquent des forces, mais les graphes montrent la somme des quantités de mouvement horizontales des billes comme contrôle qualitatif.

Formules

v₁n′, v₂n′ comme en 1D · v_t inchangé · ω = (v·t̂)/L

Pendule : θ¨ = −(g/L) sin θ entre les chocs

Questions fréquentes

Pourquoi les pendules se traversent-ils parfois sans choc ?: Le choc n'est compté que si les billes se rapprochent le long de la ligne des centres (la vitesse relative normale est dirigée vers la rencontre) et se touchent presque. Si elles s'écartent ou glissent presque à la tangente, le modèle n'inclut pas le choc.
L'énergie se conserve-t-elle ?: Entre les chocs, oui (pas de frottement). Si e = 1, l'énergie cinétique du choc se conserve aussi. Une légère dérive sur un long calcul vient du pas d'intégration, pas de la physique.
En quoi cela diffère-t-il du berceau de Newton ?: Dans le berceau de Newton, les chocs vont le long d'une droite. Ici, la direction de la normale change avec les angles des pendules : les formules unidimensionnelles ne valent que le long de la ligne des centres instantanée ; le mouvement tangentiel ne change pas.
Qu'est-ce que θ̈ et à quoi sert-il ?: θ̈ est l'accélération angulaire : θ̈ = −(g/L) sin θ. Entre les chocs, elle fixe le va-et-vient ; le choc change d'un coup la vitesse angulaire et, avec elle, le mouvement qui suit.

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