Pourquoi prend-on le choc parfaitement inélastique ? L'énergie n'est-elle pas perdue ?

La balle s'incruste dans le bloc et les deux avancent ensemble : c'est la définition du choc parfaitement inélastique. Une partie de l'énergie cinétique part en chaleur et en déformation, donc on n'applique pas la conservation de l'énergie au choc lui-même. Pendant l'instant bref de l'impact, pour le système « balle + bloc », la quantité de mouvement se conserve.

Faut-il l'approximation des petits angles ?

Non. La formule de θ_max vient de l'énergie exacte ½(M + m)V² = (M + m)gL(1 − cos θ_max), et le mouvement de l'équation complète du pendule. L'approximation sin θ ≈ θ ne vaut qu'à très petite amplitude et n'est pas utilisée ici.

À quoi cela servait-il en balistique ?

Avant l'électronique, on estimait ainsi la vitesse initiale de la balle : on mesurait l'angle d'un bloc lourd suspendu et l'on calculait v₀ avec la quantité de mouvement et l'énergie. Aujourd'hui, c'est surtout un TP sur les lois de conservation.

Que manque-t-il au modèle idéal ?

La résistance de l'air pendant l'oscillation, le frottement au pivot, le moment d'inertie du bloc (traité comme un point matériel) et l'élasticité de la tige. Dans l'expérience réelle, cela introduit une erreur systématique.

Pendule balistique

Une balle frappe un bloc suspendu : choc parfaitement inélastique ou choc avec coefficient de restitution e. La quantité de mouvement donne ω₀ = v/L, l'énergie donne θ_max ; sur le graphe, énergies cinétique et potentielle.

Graphiques

À propos du modèle

Le pendule balistique est la méthode classique pour estimer la vitesse d'une balle sans la mesurer en vol. Deux étapes : un choc parfaitement inélastique (la balle de masse m s'incruste dans un bloc de masse M), puis une oscillation sans pertes. La quantité de mouvement donne (M + m)V = mv₀. L'angle maximal affiché suit de la conservation de l'énergie ½(M + m)V² = (M + m)gL(1 − cos θ_max). L'animation intègre θ″ = −(g/L) sin θ (Verlet en vitesse), et non l'approximation sin θ ≈ θ. On dispose aussi d'un choc unidimensionnel avec coefficient de restitution e, lorsque seul le bloc M est accroché au fil. Les graphes montrent les énergies cinétique, potentielle et mécanique totale. Simplifications : tige de masse nulle, pas de frottement ni de résistance de l'air, choc instantané.

Public : Lycée et L1 : conservation de la quantité de mouvement dans un choc inélastique, puis conservation de l'énergie sur le pendule.

Notions clés

pendule balistique
conservation de la quantité de mouvement
loi de conservation de l'énergie
choc parfaitement inélastique
angle maximal d'écart
coefficient de restitution
vitesse de la balle

Comment ça marche

La balle frappe le bloc suspendu au point le plus bas ; l'impulsion est tangentielle. Dans le choc parfaitement inélastique la balle s'incruste : (M + m)V = mv₀, puis l'oscillation se fait sans pertes. Avec un coefficient de restitution e le choc est unidimensionnel : le bloc reçoit v₂′ = (1 + e)mv₀/(m + M), la balle rebondit à v₁′ = v₀ − (1 + e)Mv₀/(m + M) ; seul le bloc est accroché au fil, donc ω₀ = v₂′/L. L'angle maximal tiré de ½M v₂′² = MgL(1 − cos θ_max) se compare à la solution numérique de l'équation du pendule.

Formules

Cas incrusté : (M+m)V = mv₀ · ½(M+m)V² = (M+m)gL(1−cos θ_max)

Cas général : v₂′ = (1+e)mv₀/(m+M) · ω₀ = v₂′/L

Questions fréquentes

Pourquoi prend-on le choc parfaitement inélastique ? L'énergie n'est-elle pas perdue ?: La balle s'incruste dans le bloc et les deux avancent ensemble : c'est la définition du choc parfaitement inélastique. Une partie de l'énergie cinétique part en chaleur et en déformation, donc on n'applique pas la conservation de l'énergie au choc lui-même. Pendant l'instant bref de l'impact, pour le système « balle + bloc », la quantité de mouvement se conserve.
Faut-il l'approximation des petits angles ?: Non. La formule de θ_max vient de l'énergie exacte ½(M + m)V² = (M + m)gL(1 − cos θ_max), et le mouvement de l'équation complète du pendule. L'approximation sin θ ≈ θ ne vaut qu'à très petite amplitude et n'est pas utilisée ici.
À quoi cela servait-il en balistique ?: Avant l'électronique, on estimait ainsi la vitesse initiale de la balle : on mesurait l'angle d'un bloc lourd suspendu et l'on calculait v₀ avec la quantité de mouvement et l'énergie. Aujourd'hui, c'est surtout un TP sur les lois de conservation.
Que manque-t-il au modèle idéal ?: La résistance de l'air pendant l'oscillation, le frottement au pivot, le moment d'inertie du bloc (traité comme un point matériel) et l'élasticité de la tige. Dans l'expérience réelle, cela introduit une erreur systématique.

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