Por que os pêndulos às vezes atravessam um ao outro sem colidir?

O impacto só entra na conta se as esferas se aproximam ao longo da linha dos centros (a velocidade relativa normal aponta para o encontro) e quase se tocam. Se se afastam ou escorregam quase de lado, o modelo não inclui o golpe.

A energia se conserva?

Entre os impactos, sim (não há atrito). Se e = 1, também se conserva a energia cinética do golpe. Um pequeno desvio num cálculo longo vem do passo de integração, não da física.

Em que isso difere do berço de Newton?

No berço de Newton os impactos vão sobre uma reta. Aqui a direção da normal muda com os ângulos dos pêndulos: as fórmulas unidimensionais valem só ao longo da linha dos centros instantânea; o movimento tangencial não muda.

O que é θ̈ e para que serve?

θ̈ é a aceleração angular: θ̈ = −(g/L) sin θ. Entre os impactos ela fixa o vaivém; o golpe muda de uma vez a velocidade angular e, com ela, o movimento que segue.

Colisão de pêndulos

Dois pêndulos simples: impacto ao longo da linha dos centros, coeficiente de restituição e; entre os impactos, a equação θ̈.

Gráficos

Sobre o modelo

Colisão de dois pêndulos simples: massas em hastes de mesmo comprimento, com pontos de suspensão próximos. Entre os impactos, cada massa é um pêndulo plano, θ̈ = −(g/L) sin θ. No instante do contato, as velocidades se decompõem na normal (linha dos centros) e na tangente: ao longo da normal há um impacto unidimensional com coeficiente de restituição e; as componentes tangenciais não mudam. Se e = 1, conserva-se a energia cinética do impacto. A quantidade de movimento horizontal do sistema de esferas não se conserva de forma estrita: os apoios aplicam forças externas; no gráfico, a soma das quantidades de movimento horizontais serve de verificação qualitativa. As cargas são massas pontuais, as hastes não têm peso, os eixos não têm atrito e o impacto é instantâneo.

Para quem: Ensino médio e início da graduação: colisão, leis de conservação, pêndulo simples.

Conceitos-chave

colisão elástica
conservação da quantidade de movimento
pêndulo simples
coeficiente de restituição
linha dos centros
energia cinética

Como funciona

Dois pêndulos de mesmo comprimento pendem de pontos próximos. Enquanto as esferas se tocam, tratam-se como esferas lisas: as velocidades se decompõem ao longo da linha dos centros (normal) e na tangente. As componentes normais sofrem um impacto unidimensional com coeficiente de restituição e (e = 1 é elástico); as tangenciais não mudam e não se modela a rotação das esferas. Entre os impactos, cada esfera é um pêndulo simples no plano. Se e = 1, conserva-se a energia cinética do golpe; a quantidade de movimento horizontal, no problema bidimensional completo, não se conserva de forma estrita porque os apoios aplicam forças, mas os gráficos mostram a soma das quantidades de movimento horizontais das esferas como verificação qualitativa.

Fórmulas principais

v₁n′, v₂n′ como em 1D · v_t sem mudança · ω = (v·t̂)/L

Pêndulo: θ¨ = −(g/L) sin θ entre as colisões

Perguntas frequentes

Por que os pêndulos às vezes atravessam um ao outro sem colidir?: O impacto só entra na conta se as esferas se aproximam ao longo da linha dos centros (a velocidade relativa normal aponta para o encontro) e quase se tocam. Se se afastam ou escorregam quase de lado, o modelo não inclui o golpe.
A energia se conserva?: Entre os impactos, sim (não há atrito). Se e = 1, também se conserva a energia cinética do golpe. Um pequeno desvio num cálculo longo vem do passo de integração, não da física.
Em que isso difere do berço de Newton?: No berço de Newton os impactos vão sobre uma reta. Aqui a direção da normal muda com os ângulos dos pêndulos: as fórmulas unidimensionais valem só ao longo da linha dos centros instantânea; o movimento tangencial não muda.
O que é θ̈ e para que serve?: θ̈ é a aceleração angular: θ̈ = −(g/L) sin θ. Entre os impactos ela fixa o vaivém; o golpe muda de uma vez a velocidade angular e, com ela, o movimento que segue.

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