Warum gehen die Pendel manchmal ohne Stoß durcheinander?

Ein Stoß zählt nur, wenn sich die Kugeln längs der Verbindungslinie der Mittelpunkte nähern (relative Normalgeschwindigkeit aufeinander zu) und sich fast berühren. Laufen sie auseinander oder gleiten sie fast tangential, nimmt das Modell keinen Stoß auf.

Bleibt die Energie erhalten?

Zwischen den Stößen ja (keine Reibung). Bei e = 1 bleibt auch die kinetische Energie des Stoßes erhalten. Ein kleiner Drift über lange Rechnung kommt vom Integrationsschritt, nicht von der Physik.

Worin unterscheidet sich das von der Newton-Wiege?

Bei der Newton-Wiege erfolgen die Stöße längs einer Geraden. Hier ändert sich die Normalenrichtung mit den Pendelwinkeln: die eindimensionalen Formeln gelten nur längs der momentanen Verbindungslinie der Mittelpunkte, die Tangentialbewegung bleibt.

Was ist θ̈ und wozu braucht man es?

θ̈ ist die Winkelbeschleunigung: θ̈ = −(g/L) sin θ. Zwischen den Stößen bestimmt sie das Schwingen; der Stoß ändert instantan die Winkelgeschwindigkeit und damit den weiteren Verlauf.

Stoß zweier Pendel

Zwei mathematische Pendel: Stoß längs der Verbindungslinie der Mittelpunkte, Stoßzahl e; dazwischen die Gleichung θ̈.

Diagramme

Zum Modell

Stoß zweier mathematischer Pendel: Massen an Stäben gleicher Länge, Aufhängepunkte dicht beieinander. Zwischen den Stößen ist jede Masse ein ebenes Pendel, θ̈ = −(g/L) sin θ. Im Berühraugenblick zerlegt man die Geschwindigkeiten in die Normale (Verbindungslinie der Mittelpunkte) und die Tangente: längs der Normalen ein eindimensionaler Stoß mit der Stoßzahl e, die Tangentialkomponenten bleiben. Bei e = 1 bleibt die kinetische Energie des Stoßes erhalten. Der waagerechte Impuls der Kugeln ist nicht streng erhalten: die Aufhängungen üben äußere Kräfte aus; die Summe der waagerechten Impulse auf dem Graphen dient der qualitativen Kontrolle. Die Massen sind Punktmassen, die Stäbe masselos, die Aufhängungen reibungsfrei, der Stoß instantan.

Für wen: Oberstufe und erstes Semester: Stoß, Erhaltungssätze, mathematisches Pendel.

Wichtige Begriffe

elastischer Stoß
Impulserhaltungssatz
mathematisches Pendel
Stoßzahl
Verbindungslinie der Mittelpunkte
kinetische Energie

So funktioniert es

Zwei Pendel gleicher Länge hängen an dicht benachbarten Punkten. Solange sich die Kugeln berühren, behandelt man sie als glatte Kugeln: die Geschwindigkeiten zerlegt man längs der Verbindungslinie der Mittelpunkte (Normale) und tangential. Die Normalkomponenten erfahren einen eindimensionalen Stoß mit der Stoßzahl e (e = 1 — elastischer Stoß); die Tangentialkomponenten bleiben, eine Eigendrehung der Kugeln wird nicht modelliert. Zwischen den Stößen ist jede Kugel ein mathematisches Pendel in der Ebene. Bei e = 1 bleibt die kinetische Energie des Stoßes erhalten; der waagerechte Impuls ist im vollen zweidimensionalen Problem nicht streng erhalten, weil die Aufhängepunkte Kräfte ausüben — die Graphen zeigen die Summe der waagerechten Kugelimpulse zur qualitativen Kontrolle.

Wichtige Gleichungen

v₁n′, v₂n′ wie in 1D · v_t unverändert · ω = (v·t̂)/L

Pendel: θ¨ = −(g/L) sin θ zwischen den Stößen

Häufige Fragen

Warum gehen die Pendel manchmal ohne Stoß durcheinander?: Ein Stoß zählt nur, wenn sich die Kugeln längs der Verbindungslinie der Mittelpunkte nähern (relative Normalgeschwindigkeit aufeinander zu) und sich fast berühren. Laufen sie auseinander oder gleiten sie fast tangential, nimmt das Modell keinen Stoß auf.
Bleibt die Energie erhalten?: Zwischen den Stößen ja (keine Reibung). Bei e = 1 bleibt auch die kinetische Energie des Stoßes erhalten. Ein kleiner Drift über lange Rechnung kommt vom Integrationsschritt, nicht von der Physik.
Worin unterscheidet sich das von der Newton-Wiege?: Bei der Newton-Wiege erfolgen die Stöße längs einer Geraden. Hier ändert sich die Normalenrichtung mit den Pendelwinkeln: die eindimensionalen Formeln gelten nur längs der momentanen Verbindungslinie der Mittelpunkte, die Tangentialbewegung bleibt.
Was ist θ̈ und wozu braucht man es?: θ̈ ist die Winkelbeschleunigung: θ̈ = −(g/L) sin θ. Zwischen den Stößen bestimmt sie das Schwingen; der Stoß ändert instantan die Winkelgeschwindigkeit und damit den weiteren Verlauf.

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