Pourquoi l’amplitude devient-elle constante à la fin, alors qu’il y a de l’amortissement ?

L’amortissement retire de l’énergie, mais la force excitatrice en apporte. Après le transitoire, autant d’énergie entre par cycle qu’il n’en part par frottement : l’amplitude ne croît plus ni ne décroît.

En quoi la pulsation propre diffère-t-elle de la pulsation de résonance ?

La pulsation propre ω₀ = √(k/m) est celle des oscillations libres, sans amortissement ni force extérieure. La pulsation de résonance est celle de la force pour laquelle l’amplitude du régime permanent est maximale. Si l’amortissement est faible, elles coïncident presque ; s’il est fort, la résonance est un peu au-dessous de ω₀.

Comment l’amortissement change-t-il la courbe de résonance ?

Un plus grand coefficient b abaisse et élargit le pic : le système répond sur une bande plus large, mais l’amplitude maximale est plus petite. Un faible amortissement donne une résonance haute et étroite.

Est-ce la même physique qu’une balançoire ?

Oui : la balançoire a une pulsation propre, la résistance de l’air donne l’amortissement, les poussées sont une force périodique. Pour l’écarter davantage, on pousse en cadence. Ici la force est un cosinus idéal ; dans la vie, c’est une impulsion brève, mais la résonance est la même.

Oscillations forcées

Oscillations forcées amorties : régime transitoire et courbe de résonance A(ω).

Graphiques

À propos du modèle

Oscillations forcées : une masse liée à un ressort, soumise à une force périodique et à un amortissement. L’équation du mouvement : mẍ + bẋ + kx = F₀ cos(ω t). On voit d’abord le régime transitoire (il dépend des conditions initiales et s’amortit), puis le régime permanent à la pulsation de la force, d’amplitude A(ω) et avec un déphasage. La courbe de résonance A(ω) a un maximum près de la pulsation propre ω₀ = √(k/m) ; l’amortissement abaisse et élargit le pic. Le modèle est linéaire : résistance visqueuse −bv et force harmonique idéale.

Public : Lycée (oscillations) et L1 : résonance, pulsation propre, régimes transitoire et permanent.

Notions clés

oscillations forcées
résonance
force excitatrice
pulsation propre
courbe de résonance
amortissement
régime permanent

Comment ça marche

Masse-ressort amorti sous une force F₀ cos(ωt) : d’abord le transitoire, puis le régime permanent à la pulsation de la force. L’amplitude A(ω) est maximale près de ω₀ = √(k/m) ; l’amortissement abaisse et élargit le pic. En médaillon, la courbe de résonance ; sur le graphe principal, x(t).

Formules

mẍ + bẋ + kx = F₀ cos(ωt)

A = (F₀/m) / √((ω₀² − ω²)² + (bω/m)²) · ω₀² = k/m

Questions fréquentes

Pourquoi l’amplitude devient-elle constante à la fin, alors qu’il y a de l’amortissement ?: L’amortissement retire de l’énergie, mais la force excitatrice en apporte. Après le transitoire, autant d’énergie entre par cycle qu’il n’en part par frottement : l’amplitude ne croît plus ni ne décroît.
En quoi la pulsation propre diffère-t-elle de la pulsation de résonance ?: La pulsation propre ω₀ = √(k/m) est celle des oscillations libres, sans amortissement ni force extérieure. La pulsation de résonance est celle de la force pour laquelle l’amplitude du régime permanent est maximale. Si l’amortissement est faible, elles coïncident presque ; s’il est fort, la résonance est un peu au-dessous de ω₀.
Comment l’amortissement change-t-il la courbe de résonance ?: Un plus grand coefficient b abaisse et élargit le pic : le système répond sur une bande plus large, mais l’amplitude maximale est plus petite. Un faible amortissement donne une résonance haute et étroite.
Est-ce la même physique qu’une balançoire ?: Oui : la balançoire a une pulsation propre, la résistance de l’air donne l’amortissement, les poussées sont une force périodique. Pour l’écarter davantage, on pousse en cadence. Ici la force est un cosinus idéal ; dans la vie, c’est une impulsion brève, mais la résonance est la même.

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