Warum wird die Amplitude am Ende konstant, obwohl Dämpfung da ist?

Die Dämpfung entzieht Energie, die Erregerkraft führt sie zu. Nach dem Einschwingen kommt pro Periode so viel Energie nach, wie in Reibung geht — die Amplitude wächst und fällt nicht mehr.

Worin unterscheidet sich die Eigenfrequenz von der Resonanzfrequenz?

Die Eigenfrequenz ω₀ = √(k/m) ist die Frequenz der freien Schwingung ohne Dämpfung und ohne äußere Kraft. Die Resonanzfrequenz ist die Erregerfrequenz, bei der die Amplitude der eingeschwungenen Schwingung maximal ist. Bei schwacher Dämpfung liegen sie fast zusammen; bei starker liegt die Resonanz etwas unter ω₀.

Wie ändert die Dämpfung die Resonanzkurve?

Ein größerer Beiwert b macht den Peak niedriger und breiter: das System antwortet in einem weiteren Frequenzband, die Maximalamplitude ist aber kleiner. Schwache Dämpfung gibt eine hohe, schmale Resonanz.

Ist das dieselbe Physik wie bei der Schaukel?

Ja: die Schaukel hat eine Eigenfrequenz, der Luftwiderstand gibt Dämpfung, die Stöße eine periodische Erregerkraft. Um stärker anzuschaukeln, stößt man im Takt. Im Modell ist die Kraft ein idealer Kosinus, im Leben ein kurzer Impuls — die Resonanz ist dieselbe.

Erzwungene Schwingungen

Erzwungene gedämpfte Schwingungen: Einschwingvorgang und Resonanzkurve A(ω).

Diagramme

Zum Modell

Erzwungene Schwingungen — Schwingungen eines Federpendels unter einer äußeren periodischen Kraft bei vorhandener Dämpfung. Die Bewegungsgleichung: mẍ + bẋ + kx = F₀ cos(ω t). Zuerst sieht man den Einschwingvorgang (abhängig von den Anfangsbedingungen, klingt ab), danach die eingeschwungene Schwingung mit der Frequenz der Erregerkraft, Amplitude A(ω) und Phasenverschiebung. Die Resonanzkurve A(ω) hat ein Maximum nahe der Eigenfrequenz ω₀ = √(k/m); Dämpfung senkt und verbreitert den Peak. Das Modell ist linear: viskoser Widerstand −bv und ideale harmonische Kraft.

Für wen: Gymnasium (Schwingungen) und erstes Semester: Resonanz, Eigenfrequenz, Einschwingvorgang und eingeschwungener Zustand.

Wichtige Begriffe

erzwungene Schwingungen
Resonanz
Erregerkraft
Eigenfrequenz
Resonanzkurve
Dämpfung
eingeschwungene Schwingung

So funktioniert es

Ein Federpendel mit Dämpfung unter der Kraft F₀ cos(ωt): zuerst der Einschwingvorgang, danach die eingeschwungene Schwingung mit der Frequenz der Kraft. Die Amplitude A(ω) ist maximal nahe ω₀ = √(k/m); Dämpfung senkt und verbreitert den Peak. Im Einsatz die Resonanzkurve, im Hauptgraphen x(t).

Wichtige Gleichungen

mẍ + bẋ + kx = F₀ cos(ωt)

A = (F₀/m) / √((ω₀² − ω²)² + (bω/m)²) · ω₀² = k/m

Häufige Fragen

Warum wird die Amplitude am Ende konstant, obwohl Dämpfung da ist?: Die Dämpfung entzieht Energie, die Erregerkraft führt sie zu. Nach dem Einschwingen kommt pro Periode so viel Energie nach, wie in Reibung geht — die Amplitude wächst und fällt nicht mehr.
Worin unterscheidet sich die Eigenfrequenz von der Resonanzfrequenz?: Die Eigenfrequenz ω₀ = √(k/m) ist die Frequenz der freien Schwingung ohne Dämpfung und ohne äußere Kraft. Die Resonanzfrequenz ist die Erregerfrequenz, bei der die Amplitude der eingeschwungenen Schwingung maximal ist. Bei schwacher Dämpfung liegen sie fast zusammen; bei starker liegt die Resonanz etwas unter ω₀.
Wie ändert die Dämpfung die Resonanzkurve?: Ein größerer Beiwert b macht den Peak niedriger und breiter: das System antwortet in einem weiteren Frequenzband, die Maximalamplitude ist aber kleiner. Schwache Dämpfung gibt eine hohe, schmale Resonanz.
Ist das dieselbe Physik wie bei der Schaukel?: Ja: die Schaukel hat eine Eigenfrequenz, der Luftwiderstand gibt Dämpfung, die Stöße eine periodische Erregerkraft. Um stärker anzuschaukeln, stößt man im Takt. Im Modell ist die Kraft ein idealer Kosinus, im Leben ein kurzer Impuls — die Resonanz ist dieselbe.

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