La période du pendule conique coïncide-t-elle avec celle d'un pendule simple de même longueur ?

Non. T_rev = 2π √(L cosθ / g) est plus courte que T₀ = 2π √(L/g) d'un facteur √(cosθ). Elles ne sont égales que lorsque θ → 0, le cercle se réduisant à un point.

Que se passe-t-il si l'on fait tourner la masse trop vite ou trop lentement ?

Le cône stationnaire n'existe que si ω² = g/(L cosθ). Si ω est plus grande, l'angle θ croît (le cône s'ouvre). Si ω est plus petite, l'angle diminue ; pour ω < √(g/L), le cercle horizontal est impossible et le mouvement devient compliqué.

Pourquoi comparer au pendule simple ?

Les deux échelles vont comme √(L/g), mais les périodes n'ont pas le même sens : ici, c'est celle d'un tour sur le cercle ; là, celle des oscillations dans un plan. Les confondre est une erreur fréquente en exercice.

Pourquoi la tension croît-elle avec l'angle du cône ?

T = mg / cosθ. À plus grand θ, la composante verticale T cosθ égale toujours mg, donc T elle-même est plus grande : une part croissante de la tension sert à la force centripète.

Pendule conique

Q: Pourquoi comparer au pendule simple ?

Les deux échelles vont comme √(L/g), mais les périodes n'ont pas le même sens : ici, c'est celle d'un tour sur le cercle ; là, celle des oscillations dans un plan. Les confondre est une erreur fréquente en exercice.

Q: Pourquoi la tension croît-elle avec l'angle du cône ?

T = mg / cosθ. À plus grand θ, la composante verticale T cosθ égale toujours mg, donc T elle-même est plus grande : une part croissante de la tension sert à la force centripète.

Cône stationnaire : ω(θ, L), vecteurs T et mg ; on compare la période de révolution T_rev à la période T₀ du pendule simple.

Graphiques

À propos du modèle

Pendule conique : une masse au bout d'un fil de longueur L, en mouvement circulaire horizontal à vitesse angulaire constante ω ; le fil engendre un cône. Forces : le poids mg et la tension T. À la verticale, T cosθ = mg ; à l'horizontale, la tension fournit la force centripète : T sinθ = mω²r, avec r = L sinθ. D'où ω² = g / (L cosθ) : à chaque angle θ, pour une L donnée, correspond une ω. La période de révolution est T_rev = 2π/ω = 2π √(L cosθ / g). Pour comparer, la période des petites oscillations du pendule simple est T₀ = 2π √(L/g). Le fil est inextensible et sans masse ; la masse est ponctuelle ; il n'y a pas de résistance de l'air.

Public : Terminale et L1 : mouvement circulaire, décomposition des forces, tension.

Notions clés

pendule conique
force centripète
mouvement circulaire uniforme
vitesse angulaire
période de révolution
tension

Comment ça marche

La masse parcourt un cercle horizontal à un angle θ fixe par rapport à la verticale et décrit un cône. En régime stationnaire, la tension du fil équilibre le poids et fournit la force centripète. La vitesse angulaire est ω = √(g/(L cosθ)), de sorte que les cônes plus ouverts (θ plus grand) exigent une rotation plus rapide. Ce n'est pas l'oscillation plane du pendule simple : comparez la période de révolution T_rev à la période harmonique T₀ = 2π√(L/g) aux petits angles — ce n'est pas la même période physique, même si les deux échelles vont comme √(L/g).

Formules

T cosθ = mg · T sinθ = mω²(L sinθ) ⇒ ω² = g/(L cosθ)

T_rev = 2π/ω = 2π√(L cosθ/g) · T_simple,small ≈ 2π√(L/g)

Questions fréquentes

La période du pendule conique coïncide-t-elle avec celle d'un pendule simple de même longueur ?: Non. T_rev = 2π √(L cosθ / g) est plus courte que T₀ = 2π √(L/g) d'un facteur √(cosθ). Elles ne sont égales que lorsque θ → 0, le cercle se réduisant à un point.
Que se passe-t-il si l'on fait tourner la masse trop vite ou trop lentement ?: Le cône stationnaire n'existe que si ω² = g/(L cosθ). Si ω est plus grande, l'angle θ croît (le cône s'ouvre). Si ω est plus petite, l'angle diminue ; pour ω < √(g/L), le cercle horizontal est impossible et le mouvement devient compliqué.
Pourquoi comparer au pendule simple ?: Les deux échelles vont comme √(L/g), mais les périodes n'ont pas le même sens : ici, c'est celle d'un tour sur le cercle ; là, celle des oscillations dans un plan. Les confondre est une erreur fréquente en exercice.
Pourquoi la tension croît-elle avec l'angle du cône ?: T = mg / cosθ. À plus grand θ, la composante verticale T cosθ égale toujours mg, donc T elle-même est plus grande : une part croissante de la tension sert à la force centripète.

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