Warum wächst die Drehgeschwindigkeit, wenn man die Massen zur Achse zieht?

L = Iω muss derselbe bleiben. Zieht man die Massen heran, sinkt I = 2mr², also wächst ω. So beschleunigt der Eiskunstläufer die Drehung, wenn er die Arme anlegt.

Bleibt die kinetische Rotationsenergie erhalten?

Nein. K_rot = ½Iω² wächst bei festem L, wenn I fällt: K = L²/(2I). Die zusätzliche Energie ist die Arbeit, mit der man die Massen gegen die Zentrifugalkraft im rotierenden System zur Achse zieht.

Eine Massenverteilung längs des Stabes, Reibung in der Achse und Luftwiderstand. Ein äußeres Drehmoment fehlt, daher ist L streng konstant. Im Leben vermindert der Widerstand den Drehimpuls langsam.

Wo braucht man das außer beim Eiskunstläufer?

Reaktionsräder eines Satelliten drehen das Gerät ohne Triebwerke. Der Kollaps eines Sterns verkleinert I und spinnt den Rest auf — so entstehen schnelle Pulsare.

Drehimpuls

Zwei gleiche Massen am Stab, I = 2mr². Bei festem Drehimpuls L ändert eine Änderung von r oder m die Winkelgeschwindigkeit ω.

Diagramme

Zum Modell

Drehimpuls: bei verschwindendem äußerem Drehmoment bleibt L = Iω erhalten. Zwei Massepunkte an einem masselosen Stab rotieren um eine Achse durch die Mitte; I = 2mr². Schiebt man die Massen zur Achse, fällt I, ω wächst — wie beim Eiskunstläufer, der die Arme anlegt. Die kinetische Energie ½Iω² bleibt dabei nicht erhalten: um die Massen radial zu verschieben, muss Arbeit geleistet werden. Sie können m, r ändern und ω vorgeben (neuer Wert von L). Der Stab ist masselos und starr, Reibung in der Achse fehlt.

Für wen: Gymnasium und erstes Semester: Drehimpuls, Trägheitsmoment, Rotation.

Wichtige Begriffe

Drehimpuls
Trägheitsmoment
Drehimpulserhaltung
Winkelgeschwindigkeit
kinetische Rotationsenergie
Drehmoment

So funktioniert es

Rotation um eine feste Achse durch den Mittelpunkt: bei verschwindendem äußerem Drehmoment ist der Drehimpuls L = Iω konstant. Schiebt man die Massen näher an die Achse, fällt I = 2mr², und ω wächst, damit L bleibt — wie beim Eiskunstläufer. Auf dem Bildschirm die Draufsicht: eine Hantel aus zwei Punkten.

Wichtige Gleichungen

L = Iω · I = 2 m r² (zwei gleiche Punktmassen)

Bei festem L: ω′ = L/I′ · K = L²/(2I)

Häufige Fragen

Warum wächst die Drehgeschwindigkeit, wenn man die Massen zur Achse zieht?: L = Iω muss derselbe bleiben. Zieht man die Massen heran, sinkt I = 2mr², also wächst ω. So beschleunigt der Eiskunstläufer die Drehung, wenn er die Arme anlegt.
Bleibt die kinetische Rotationsenergie erhalten?: Nein. K_rot = ½Iω² wächst bei festem L, wenn I fällt: K = L²/(2I). Die zusätzliche Energie ist die Arbeit, mit der man die Massen gegen die Zentrifugalkraft im rotierenden System zur Achse zieht.
Was fehlt im Modell?: Eine Massenverteilung längs des Stabes, Reibung in der Achse und Luftwiderstand. Ein äußeres Drehmoment fehlt, daher ist L streng konstant. Im Leben vermindert der Widerstand den Drehimpuls langsam.
Wo braucht man das außer beim Eiskunstläufer?: Reaktionsräder eines Satelliten drehen das Gerät ohne Triebwerke. Der Kollaps eines Sterns verkleinert I und spinnt den Rest auf — so entstehen schnelle Pulsare.

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