Pourquoi le pendule d’Euler s’élance-t-il plus haut et gagne-t-il de l’énergie ?

C’est un artefact numérique. Euler explicite est instable à long terme sur ce système : l’extrapolation linéaire surestime systématiquement l’accroissement de ω et ajoute de l’énergie à chaque pas. Dans le modèle conservatif, l’énergie mécanique totale est constante.

Pourquoi garder Euler, si RK4 est plus précis ?

Euler appelle une fois le second membre par pas, contre quatre pour RK4. On le garde quand importent la simplicité et un pas petit, et comme premier schéma d’où l’on comprend l’ordre. Pour qu’Euler rattrape RK4 en précision, h doit en général devenir impraticablement petit.

Que se passe-t-il si l’on diminue fortement le pas h ?

Les deux solutions convergent vers la vraie, et la dérive d’énergie d’Euler s’affaiblit sur un intervalle fixé. L’erreur d’Euler se comporte comme h, celle de RK4 comme h⁴ : c’est l’ordre de la méthode.

Le frottement et la masse du fil sont-ils pris en compte ?

Non : le fil est sans masse et inextensible, la masse est ponctuelle, il n’y a pas de résistance de l’air. On isole ainsi l’erreur du schéma. Sur un pendule réel, l’énergie décroîtrait par amortissement, au lieu de croître comme chez Euler.

Euler et RK4 (pendule simple)

Une même équation non linéaire du pendule simple et un même pas h : méthode d’Euler explicite à côté de Runge–Kutta d’ordre 4.

À propos du modèle

Euler et RK4 s’appliquent ici au pendule simple sans approximation des petits angles : θ″ = −(g/L) sin θ. Il n’existe pas de solution analytique en fonctions élémentaires, d’où la comparaison de deux schémas sur le même problème de Cauchy. L’équation du second ordre se ramène à θ′ = ω, ω′ = −(g/L) sin θ. Euler explicite fait un pas linéaire : θ ← θ + hω, ω ← ω + h a(θ). Runge–Kutta d’ordre 4 (RK4) combine quatre pentes intermédiaires et donne une erreur locale d’ordre h⁵. Ni frottement, ni masse du fil : le système est conservatif, l’énergie mécanique totale doit se conserver. À grand h, Euler injecte de l’énergie et décale la phase ; RK4, au même pas, reste beaucoup plus longtemps près de la référence. On fait varier g/L, le pas h et l’angle initial.

Public : Méthodes numériques et physique numérique : EDO, ordre du schéma, dérive d’énergie.

Notions clés

intégration numérique
méthode de Runge–Kutta
méthode d’Euler
équation différentielle ordinaire
pendule simple
erreur de troncature
conservation de l’énergie
espace des phases

Comment ça marche

Une même équation θ″ = −(g/L) sin θ, un même angle initial, un même pas h. Euler explicite met à jour θ et ω linéairement et, à grand h, injecte de l’énergie : la phase s’en va. RK4 moyenne quatre pentes et reste beaucoup plus près de la référence conservative. Diminuez h — Euler diverge plus tard, mais le coût en pas augmente.

Formules

Euler : θ += ωh, ω += a(θ)h · RK4 : moyenne à quatre étages sur (θ, ω)

Questions fréquentes

Pourquoi le pendule d’Euler s’élance-t-il plus haut et gagne-t-il de l’énergie ?: C’est un artefact numérique. Euler explicite est instable à long terme sur ce système : l’extrapolation linéaire surestime systématiquement l’accroissement de ω et ajoute de l’énergie à chaque pas. Dans le modèle conservatif, l’énergie mécanique totale est constante.
Pourquoi garder Euler, si RK4 est plus précis ?: Euler appelle une fois le second membre par pas, contre quatre pour RK4. On le garde quand importent la simplicité et un pas petit, et comme premier schéma d’où l’on comprend l’ordre. Pour qu’Euler rattrape RK4 en précision, h doit en général devenir impraticablement petit.
Que se passe-t-il si l’on diminue fortement le pas h ?: Les deux solutions convergent vers la vraie, et la dérive d’énergie d’Euler s’affaiblit sur un intervalle fixé. L’erreur d’Euler se comporte comme h, celle de RK4 comme h⁴ : c’est l’ordre de la méthode.
Le frottement et la masse du fil sont-ils pris en compte ?: Non : le fil est sans masse et inextensible, la masse est ponctuelle, il n’y a pas de résistance de l’air. On isole ainsi l’erreur du schéma. Sur un pendule réel, l’énergie décroîtrait par amortissement, au lieu de croître comme chez Euler.

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