Est-ce un modèle de la météo ?

Seulement une caricature de la convection : les vrais modèles d’atmosphère sont de dimension énorme. On en retient l’idée de sensibilité aux conditions initiales, non les équations concrètes de prévision.

Pourquoi les trajectoires ne partent-elles pas à l’infini ?

Les termes non linéaires bornent la croissance, la dissipation replie le volume. L’attracteur reste dans une région compacte de l’espace des phases.

Est-ce le même chaos que dans les systèmes hamiltoniens ?

Non : là, le volume dans l’espace des phases se conserve. Chez Lorenz, le volume se contracte — attracteur étrange dissipatif, autre classe.

La méthode d’Euler explicite suffit-elle ?

Pour de longs parcours, en général non. Il faut des schémas d’ordre élevé et un contrôle du pas, sinon les ailes du « papillon » se déforment par artefact numérique.

Lorenz strange attractor

Système de Lorenz aux paramètres σ, ρ, β : attracteur étrange en « papillon » dans la projection (x, z). Intégration par Runge–Kutta, sensibilité aux conditions initiales.

À propos du modèle

L’attracteur de Lorenz est l’ensemble limite des trajectoires du système autonome dx/dt = σ(y − x), dy/dt = x(ρ − z) − y, dz/dt = xy − βz, issu d’un modèle fortement tronqué de convection. Aux paramètres classiques σ, ρ, β, l’orbite s’enroule sur un attracteur étrange à deux ailes : le mouvement reste borné, mais des conditions initiales proches divergent exponentiellement. Le flot est dissipatif — le volume dans l’espace des phases se contracte ; c’est une autre classe que le chaos hamiltonien à volume conservé. À l’écran — la projection (x, z) de la trace de Runge–Kutta. Pas de bruit stochastique ; un pas trop grand déforme le « papillon » par artefact numérique. La prévision à long terme sur de telles équations est limitée par l’exposant de Lyapunov, non par le manque de données.

Public : Dynamique non linéaire : attracteur étrange, chaos, flot dissipatif.

Notions clés

attracteur de Lorenz
système de Lorenz
attracteur étrange
sensibilité aux conditions initiales
flot dissipatif
exposant de Lyapunov
effet papillon
EDO non linéaire

Comment ça marche

Système de Lorenz : dx/dt = σ(y − x), dy/dt = x(ρ − z) − y, dz/dt = xy − βz. Aux paramètres classiques, les trajectoires s’enroulent sur un attracteur étrange ; des départs proches divergent. À l’écran — la projection (x, z) de la trace de Runge–Kutta. Un pas trop grand déforme les ailes.

Questions fréquentes

Est-ce un modèle de la météo ?: Seulement une caricature de la convection : les vrais modèles d’atmosphère sont de dimension énorme. On en retient l’idée de sensibilité aux conditions initiales, non les équations concrètes de prévision.
Pourquoi les trajectoires ne partent-elles pas à l’infini ?: Les termes non linéaires bornent la croissance, la dissipation replie le volume. L’attracteur reste dans une région compacte de l’espace des phases.
Est-ce le même chaos que dans les systèmes hamiltoniens ?: Non : là, le volume dans l’espace des phases se conserve. Chez Lorenz, le volume se contracte — attracteur étrange dissipatif, autre classe.
La méthode d’Euler explicite suffit-elle ?: Pour de longs parcours, en général non. Il faut des schémas d’ordre élevé et un contrôle du pas, sinon les ailes du « papillon » se déforment par artefact numérique.

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