Pourquoi le paramètre b₁ compte-t-il ?

b₁ fixe le niveau de demi-saturation sur la ressource pour les herbivores. Dans l’article d’origine, les autres coefficients étant fixés, faire varier b₁ fait passer le système d’un équilibre stable à des cycles puis au chaos.

Que fait le jeu de paramètres de 1991 ?

Il substitue les coefficients adimensionnés du tableau 1 de l’article, avec b₁ = 3 en régime chaotique, les conditions initiales (0,1 ; 0,1 ; 0,1) et intègre silencieusement quelques centaines de pas, pour que l’écran montre plutôt la dynamique de long terme qu’un court transitoire.

En quoi cela diffère-t-il du modèle de Lotka–Volterra ?

Lotka–Volterra — deux populations et des orbites fermées dans le plan de phase. Ici trois espèces, logistique de la ressource, saturation de la prédation et mortalité des consommateurs — assez de structure pour un chaos impossible dans le schéma classique à deux espèces.

Peut-on prévoir un écosystème réel ?

Non : modèle pédagogique adimensionné, sans espace, ni âges, ni stochasticité. Il montre la richesse dynamique d’une chaîne simple, pas la prévision d’un biome donné.

Chaîne alimentaire à trois espèces (Hastings–Powell)

x→y→z, réponses de Holling II, logistique pour x ; chaos en variant b₁ ; RK4, plans de phase.

À propos du modèle

La chaîne alimentaire à trois espèces de Hastings–Powell (1991) est une chaîne adimensionnée : ressource x, consommateur y, prédateur supérieur z. La ressource croît de façon logistique : x′ = x(1−x) ; les deux maillons trophiques — réponses saturantes de Holling de type II fᵢ(u) = aᵢu/(1+bᵢu). Système complet : x′ = x(1−x) − f₁(x)y, y′ = f₁(x)y − f₂(y)z − d₁y, z′ = f₂(y)z − d₂z. Contrairement au Lotka–Volterra à deux espèces, on peut avoir un équilibre, des cycles limites et un attracteur chaotique — surtout en faisant varier b₁ (demi-saturation sur la ressource). La dynamique lente du prédateur supérieur (d₂ ≪ d₁) donne un attracteur « en tasse » : effondrement de z → pic de x et y → croissance de z → effondrement de y. Intégration RK4 ; jeu de paramètres chaotique de l’article ; graphes x, y, z en fonction du temps et plans de phase (y, z), (x, y) ; à la réinitialisation — une courte mise en régime vers l’attracteur.

Public : Écologie et systèmes dynamiques : chaos dans une chaîne alimentaire, après les modèles prédateur–proie à deux espèces.

Notions clés

chaîne alimentaire
modèle de Hastings–Powell
réponse fonctionnelle de Holling II
attracteur chaotique
cascade trophique
prédateur–proie
dynamique des populations

Comment ça marche

Chaîne x → y → z (ressource, herbivores, prédateur) selon Hastings et Powell (1991) : x′ = x(1−x) − f₁(x)y, y′ = f₁(x)y − f₂(y)z − d₁y, z′ = f₂(y)z − d₂z, fᵢ(u)=aᵢu/(1+bᵢu). Si d₁ ≫ d₂ et que l’on fait varier b₁, le chaos est possible — effondrements de z, pics de x, y, puis à nouveau écrasement des herbivores. RK4 ; jeu de l’article ; séries en t ou phase (y, z), (x, y).

Formules

x' = x(1−x) − f₁(x)y · y' = f₁(x)y − f₂(y)z − d₁y · z' = f₂(y)z − d₂z · fᵢ(u)=aᵢu/(1+bᵢu)

Questions fréquentes

Pourquoi le paramètre b₁ compte-t-il ?: b₁ fixe le niveau de demi-saturation sur la ressource pour les herbivores. Dans l’article d’origine, les autres coefficients étant fixés, faire varier b₁ fait passer le système d’un équilibre stable à des cycles puis au chaos.
Que fait le jeu de paramètres de 1991 ?: Il substitue les coefficients adimensionnés du tableau 1 de l’article, avec b₁ = 3 en régime chaotique, les conditions initiales (0,1 ; 0,1 ; 0,1) et intègre silencieusement quelques centaines de pas, pour que l’écran montre plutôt la dynamique de long terme qu’un court transitoire.
En quoi cela diffère-t-il du modèle de Lotka–Volterra ?: Lotka–Volterra — deux populations et des orbites fermées dans le plan de phase. Ici trois espèces, logistique de la ressource, saturation de la prédation et mortalité des consommateurs — assez de structure pour un chaos impossible dans le schéma classique à deux espèces.
Peut-on prévoir un écosystème réel ?: Non : modèle pédagogique adimensionné, sans espace, ni âges, ni stochasticité. Il montre la richesse dynamique d’une chaîne simple, pas la prévision d’un biome donné.

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