Pourquoi certaines matrices n’ont-elles pas de flèches ?

Les flèches ne sont tracées que pour des valeurs propres réelles. Si les racines du polynôme caractéristique sont complexes, il n’y a pas de droites invariantes dans le plan réel : l’application tourne et étire, mais ne laisse aucune direction propre réelle.

Pourquoi deux flèches sont-elles sur la même droite, mais opposées ?

Un vecteur propre fixe une droite, non une seule flèche. Si λ > 0, les vecteurs de cette droite gardent leur orientation ; si λ < 0, ils sont renvoyés. Les deux flèches figurent une même direction propre.

Une matrice 2×2 peut-elle avoir plus de deux directions propres ?

Il n’y a pas plus de deux vecteurs propres linéairement indépendants. Cas particulier — un multiple scalaire de l’identité, par exemple [[2, 0], [0, 2]] : alors tout vecteur non nul est propre, et l’application est un étirement uniforme.

Quel lien avec la trace et le déterminant ?

Équation caractéristique λ² − (tr M)λ + det M = 0. Le signe du discriminant (tr M)² − 4 det M décide si les λ sont réelles. Ces mêmes invariants se lisent sur les curseurs a, b, c, d.

Matrice 2×2 et vecteurs propres

Q: Une matrice 2×2 peut-elle avoir plus de deux directions propres ?

Il n’y a pas plus de deux vecteurs propres linéairement indépendants. Cas particulier — un multiple scalaire de l’identité, par exemple [[2, 0], [0, 2]] : alors tout vecteur non nul est propre, et l’application est un étirement uniforme.

Q: Quel lien avec la trace et le déterminant ?

Équation caractéristique λ² − (tr M)λ + det M = 0. Le signe du discriminant (tr M)² − 4 det M décide si les λ sont réelles. Ces mêmes invariants se lisent sur les curseurs a, b, c, d.

Application linéaire du plan par une matrice M : le quadrillage carré devient un réseau de parallélogrammes. Pour des λ réelles — flèches le long des directions invariantes.

À propos du modèle

Une matrice 2×2 définit une application linéaire du plan : v′ = Mv. Le quadrillage carré devient un réseau de parallélogrammes — étirement, cisaillement, contraction ou rotation. Un vecteur propre x est un vecteur non nul dont la direction ne change pas : Mx = λx. La valeur propre λ dit si le vecteur s’étire (|λ| > 1), se contracte (|λ| < 1), change d’orientation (λ < 0) ou conserve sa longueur (|λ| = 1). Sur le panneau de droite, pour des λ réelles, des flèches sont tracées le long des directions propres, de longueur liée à |λ|. Des valeurs propres complexes correspondent à une rotation sans droites invariantes dans le plan réel — alors pas de flèches, mais le quadrillage se déforme quand même. La trace, le déterminant et l’équation caractéristique det(M − λI) = 0 décident s’il existe une paire réelle de directions.

Public : Algèbre linéaire : applications linéaires, vecteurs propres, équation caractéristique.

Notions clés

application linéaire
vecteur propre
valeur propre
produit matrice-vecteur
déterminant
équation caractéristique
direction invariante
diagonalisation

Comment ça marche

L’application (x, y) ↦ (ax + by, cx + dy) envoie le quadrillage carré sur un réseau de parallélogrammes. Pour des λ réelles, les vecteurs propres sont sur les directions qui ne font que changer d’échelle : à droite, deux flèches depuis l’origine si le discriminant ≥ 0. Des λ complexes signifient qu’il n’y a pas, dans ℝ², de paire de droites propres réelles.

Formules

det(M − λI) = 0 · tr = a+d · det = ad − bc

Questions fréquentes

Pourquoi certaines matrices n’ont-elles pas de flèches ?: Les flèches ne sont tracées que pour des valeurs propres réelles. Si les racines du polynôme caractéristique sont complexes, il n’y a pas de droites invariantes dans le plan réel : l’application tourne et étire, mais ne laisse aucune direction propre réelle.
Pourquoi deux flèches sont-elles sur la même droite, mais opposées ?: Un vecteur propre fixe une droite, non une seule flèche. Si λ > 0, les vecteurs de cette droite gardent leur orientation ; si λ < 0, ils sont renvoyés. Les deux flèches figurent une même direction propre.
Une matrice 2×2 peut-elle avoir plus de deux directions propres ?: Il n’y a pas plus de deux vecteurs propres linéairement indépendants. Cas particulier — un multiple scalaire de l’identité, par exemple [[2, 0], [0, 2]] : alors tout vecteur non nul est propre, et l’application est un étirement uniforme.
Quel lien avec la trace et le déterminant ?: Équation caractéristique λ² − (tr M)λ + det M = 0. Le signe du discriminant (tr M)² − 4 det M décide si les λ sont réelles. Ces mêmes invariants se lisent sur les curseurs a, b, c, d.

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