Qu’est-ce qu’une distribution stationnaire ?

C’est une distribution π telle que πP = π : après un pas, les probabilités ne changent pas. Si la chaîne est ergodique, les transitions répétées convergent vers π depuis n’importe quel état initial.

Pourquoi le trou spectral compte-t-il ?

La deuxième valeur propre en module fixe la vitesse d’amortissement des modes transitoires. Un grand trou signifie en général un mélange rapide et une distance en variation totale déjà petite au bout de peu de pas.

Qu’est-ce que l’équilibre détaillé ?

La condition π_i P_{ij} = π_j P_{ji} : les flux de probabilité entre chaque paire d’états se compensent. Elle garantit que π est stationnaire et sert souvent à construire un MCMC.

Mélange d’une chaîne de Markov

Chaîne à trois états : matrice de transition, distribution stationnaire, distance en variation totale, équilibre détaillé et trou spectral.

Les boucles ralentissent le mélange ; un biais directionnel peut rompre l’équilibre détaillé tout en conservant la distribution stationnaire.

Graphiques

À propos du modèle

Une chaîne de Markov met à jour la distribution de probabilité par la règle p_{t+1} = p_t P. Pour une chaîne ergodique, les transitions répétées convergent vers la distribution stationnaire π, πP = π, depuis n’importe quel état initial. Sur la chaîne à trois états, on voit les probabilités courantes, la distance en variation totale jusqu’à π, le critère d’équilibre détaillé et une estimation du trou spectral, qui fixe la vitesse de mélange. Un grand trou signifie en général un amortissement rapide des modes transitoires.

Public : Probabilités et processus aléatoires : chaînes de Markov, MCMC.

Notions clés

chaîne de Markov
matrice de transition
distribution stationnaire
temps de mélange
équilibre détaillé
trou spectral

Comment ça marche

La chaîne de Markov met à jour la distribution par la règle p_{t+1}=p_tP. La distribution stationnaire π vérifie πP=π ; si la chaîne est ergodique, la distribution courante se rapproche peu à peu de π. La distance en variation totale montre l’écart restant ; l’équilibre détaillé contrôle le flux réversible π_iP_ij≈π_jP_ji ; le trou spectral gouverne la vitesse d’amortissement des modes transitoires.

Formules

p_{t+1}=p_t P, πP=π

La vitesse de mélange est fixée par les valeurs propres ; un plus grand trou spectral implique une convergence plus rapide

Questions fréquentes

Qu’est-ce qu’une distribution stationnaire ?: C’est une distribution π telle que πP = π : après un pas, les probabilités ne changent pas. Si la chaîne est ergodique, les transitions répétées convergent vers π depuis n’importe quel état initial.
Pourquoi le trou spectral compte-t-il ?: La deuxième valeur propre en module fixe la vitesse d’amortissement des modes transitoires. Un grand trou signifie en général un mélange rapide et une distance en variation totale déjà petite au bout de peu de pas.
Qu’est-ce que l’équilibre détaillé ?: La condition π_i P_{ij} = π_j P_{ji} : les flux de probabilité entre chaque paire d’états se compensent. Elle garantit que π est stationnaire et sert souvent à construire un MCMC.

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