Pourquoi ω_c est-il lié à min(π/L, π/M) ?

Après multiplication de la fréquence par L, les copies du spectre se décalent de 2π/L ; le passe-bas doit couper les images vers π/L. Avant la décimation ↓M, tout ce qui dépasse ~π/M se replie dans la bande d’observation. On retient le plus sévère des deux seuils.

Est-ce la même chose qu’une vraie réalisation polyphase ?

Pour l’essentiel oui (aux bords et aux arrondis près) : les mêmes échantillons y[m], mais la forme polyphase ne stocke pas le long signal creux et calcule L convolutions courtes à la fréquence d’entrée.

Que montre le mode sans filtre RIF ?

Une impulsion L·δ[n] à la place du filtre : les images restent, la décimation les replie — des composantes parasites apparaissent dans le spectre et la forme se déforme.

Pourquoi la longueur de sortie n’est-elle que voisine de N·L/M ?

On retient les instants de sortie à haute fréquence qui, après compensation du retard, tombent du premier au dernier échantillon d’entrée. Pour L/M rationnel, c’est l’entier floor((N − 1)L/M) + 1, pas toujours exactement N·L/M.

Rééchantillonnage polyphase L/M

Insertion de L−1 zéros, filtre RIF passe-bas à la fréquence élevée avec ω_c ≈ min(π/L, π/M), puis décimation ↓M ; spectres avant et après, et schéma des identités de Noble pour L branches polyphases.

Graphiques

À propos du modèle

Le rééchantillonnage rationnel de rapport L/M se fait, sous forme canonique, en insérant L−1 zéros, en filtrant par un RIF passe-bas à la fréquence intermédiaire L·F_s (bande de l’ordre de min(π/L, π/M) radians par échantillon), puis en décimant ↓M. Le filtre atténue à la fois les images spectrales nées de l’insertion de zéros et l’énergie au-dessus de π/M avant la décimation. La décomposition polyphase de H(z) en L sous-filtres E_r(z^L) donne la même arithmétique qu’une longue convolution avec une suite creuse, mais calcule à la fréquence d’entrée (identités de Noble). On construit la chaîne directe « zéros → convolution → décimation » avec compensation du retard de groupe du RIF ; il y a les spectres avant et après, et un mode sans filtre où l’on voit le repliement et les images. Pas de décimation multi-étages ni de L/M fractionnaire arbitraire.

Public : Cours de traitement du signal et systèmes multi-cadences : interpolation, décimation, décomposition polyphase.

Notions clés

décomposition polyphase
identités de Noble
interpolation
décimation
anti-repliement
suppression des images
rééchantillonnage rationnel
fenêtre de Hamming

Comment ça marche

L/M : l’insertion de L−1 zéros multiplie la fréquence d’échantillonnage par L ; le RIF passe-bas à la fréquence élevée atténue les images et prépare le signal à ↓M, pour éviter le repliement. On peut calculer la même chose comme L filtres polyphases courts à la fréquence d’entrée (identités de Noble).

Formules

u[k] = Σ x[i] δ[k − iL] (zero stuffing), y[m] = (u * h)[m₀ + mM]

H(z) = Σ_{r=0}^{L−1} z^{−r} E_r(z^L) — L polyphase components E_r

Questions fréquentes

Pourquoi ω_c est-il lié à min(π/L, π/M) ?: Après multiplication de la fréquence par L, les copies du spectre se décalent de 2π/L ; le passe-bas doit couper les images vers π/L. Avant la décimation ↓M, tout ce qui dépasse ~π/M se replie dans la bande d’observation. On retient le plus sévère des deux seuils.
Est-ce la même chose qu’une vraie réalisation polyphase ?: Pour l’essentiel oui (aux bords et aux arrondis près) : les mêmes échantillons y[m], mais la forme polyphase ne stocke pas le long signal creux et calcule L convolutions courtes à la fréquence d’entrée.
Que montre le mode sans filtre RIF ?: Une impulsion L·δ[n] à la place du filtre : les images restent, la décimation les replie — des composantes parasites apparaissent dans le spectre et la forme se déforme.
Pourquoi la longueur de sortie n’est-elle que voisine de N·L/M ?: On retient les instants de sortie à haute fréquence qui, après compensation du retard, tombent du premier au dernier échantillon d’entrée. Pour L/M rationnel, c’est l’entier floor((N − 1)L/M) + 1, pas toujours exactement N·L/M.

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