Por que ω_c está ligada a min(π/L, π/M)?

Depois de subir a frequência em L vezes, as cópias do espectro se deslocam com passo 2π/L; o passa-baixas deve cortar as imagens mais ou menos até π/L. Antes da decimação ↓M, tudo que estiver acima de ~π/M se dobra na banda de observação. Toma-se o limiar mais rigoroso dos dois.

Isso é o mesmo que uma implementação polifásica de verdade?

No essencial sim (salvo bordas e arredondamento): saem as mesmas amostras y[m], mas a forma polifásica não guarda o sinal esparso longo e calcula L convoluções curtas na frequência de entrada.

O que mostra o modo sem filtro FIR?

O impulso L·δ[n] no lugar do filtro: as imagens ficam, a decimação as dobra — no espectro aparecem componentes parasitas e a forma de onda se distorce.

Por que o comprimento da saída só se aproxima de N·L/M?

Tomam-se os instantes de saída na frequência alta que, depois de compensar o atraso, caem entre a primeira e a última amostra de entrada. Com L/M racional isso é o inteiro floor((N − 1)L/M) + 1, e não sempre exatamente N·L/M.

Reamostragem polifásica

Inserção de L−1 zeros, filtro FIR passa-baixas na frequência alta com ω_c ≈ min(π/L, π/M) e depois decimação ↓M; espectros de entrada e saída e identidades de Noble para L ramos polifásicos.

Gráficos

Sobre o modelo

A reamostragem polifásica com razão L/M, na forma canônica: inserção de L−1 zeros, filtro FIR passa-baixas na frequência intermediária L·F_s com banda da ordem de min(π/L, π/M) radianos por amostra, e depois decimação ↓M. O filtro suprime ao mesmo tempo as imagens espectrais deixadas pela inserção de zeros e não deixa passar energia acima de π/M antes da decimação. A decomposição polifásica de H(z) em L subfiltros E_r(z^L) faz a mesma aritmética que a convolução longa com a sequência esparsa, mas calcula na frequência de entrada (identidades de Noble). Monta-se a cadeia direta «zeros → convolução → decimação» com compensação do atraso de grupo do FIR; há espectros de entrada e saída e um modo sem filtro, em que se veem o aliasing e as imagens. Não há decimação em vários estágios nem um L/M fracionário arbitrário.

Para quem: Curso de DSP e sistemas multitaxa: interpolação, decimação, decomposição polifásica.

Conceitos-chave

decomposição polifásica
identidades de Noble
interpolação
decimação
rejeição de aliasing
rejeição de imagens
reamostragem racional
janela de Hamming

Como funciona

L/M: a inserção de L−1 zeros sobe a frequência de amostragem em L; o FIR passa-baixas na frequência alta suprime as imagens e prepara o sinal para ↓M, para não haver aliasing. O mesmo se calcula como L filtros polifásicos curtos na frequência de entrada (identidades de Noble).

Fórmulas principais

u[k] = Σ x[i] δ[k − iL] (zero stuffing), y[m] = (u * h)[m₀ + mM]

H(z) = Σ_{r=0}^{L−1} z^{−r} E_r(z^L) — L polyphase components E_r

Perguntas frequentes

Por que ω_c está ligada a min(π/L, π/M)?: Depois de subir a frequência em L vezes, as cópias do espectro se deslocam com passo 2π/L; o passa-baixas deve cortar as imagens mais ou menos até π/L. Antes da decimação ↓M, tudo que estiver acima de ~π/M se dobra na banda de observação. Toma-se o limiar mais rigoroso dos dois.
Isso é o mesmo que uma implementação polifásica de verdade?: No essencial sim (salvo bordas e arredondamento): saem as mesmas amostras y[m], mas a forma polifásica não guarda o sinal esparso longo e calcula L convoluções curtas na frequência de entrada.
O que mostra o modo sem filtro FIR?: O impulso L·δ[n] no lugar do filtro: as imagens ficam, a decimação as dobra — no espectro aparecem componentes parasitas e a forma de onda se distorce.
Por que o comprimento da saída só se aproxima de N·L/M?: Tomam-se os instantes de saída na frequência alta que, depois de compensar o atraso, caem entre a primeira e a última amostra de entrada. Com L/M racional isso é o inteiro floor((N − 1)L/M) + 1, e não sempre exatamente N·L/M.

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